Question

【題目】已知：如圖，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，與CD相交于點F，H是BC邊的中點，連結DH與BE相交于點G．
（1）求證：BF=AC；
（2）求證：CE= BF．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵CD⊥AB，∠ABC=45°，

∴△BCD是等腰直角三角形．

∴BD=CD．

∵∠DBF=90°﹣∠BFD，∠DCA=90°﹣∠EFC，且∠BFD=∠EFC，

∴∠DBF=∠DCA．

在Rt△DFB和Rt△DAC中，

，

∴Rt△DFB≌Rt△DAC（AAS），

∴BF=AC

（2）證明：∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE=∠CBE．

在Rt△BEA和Rt△BEC中，

，

∴Rt△BEA≌Rt△BEC（ASA）．

∴CE=AE= AC，

又∵BF=AC，

∴CE= BF

【解析】（1）根據三角形的內角和定理求出∠A=∠DFB，推出BD=DC，根據AAS證出△BDF≌△CDA即可；（2）推出∠AEB=∠CEB，∠ABE=∠CBE，根據ASA證出△AEB≌△CEB，推出AE=CE即可．