Question

【題目】已知△ABC，分別以BC，AB，AC為邊作等邊三角形BCE，ACF，ABD

(1)若存在四邊形ADEF，判斷它的形狀，并說明理由．

(2)存在四邊形ADEF的條件下，請你給△ABC添個條件，使得四邊形ADEF成為矩形，并說明理由．

(3)當△ABC滿足什么條件時四邊形ADEF不存在．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）當∠BAC＝150°時，四邊形ADEF是矩形；（3）這樣的平行四邊形ADEF不總是存在.

【解析】

（1）根據等邊三角形的性質得出AC＝AF，AB＝BD，BC＝BE，∠EBC＝∠ABD＝60°，求出∠DBE＝∠ABC，根據SAS推出△DBE≌△ABC，根據全等得出DE＝AC，求出DE＝AF，同理AD＝EF，根據平行四邊形的判定推出即可；

（2）當AB＝AC時，四邊形ADEF是菱形，根據菱形的判定推出即可；當∠BAC＝150°時，四邊形ADEF是矩形，求出∠DAF＝90°，根據矩形的判定推出即可；

（3）這樣的平行四邊形ADEF不總是存在，當∠BAC＝60°時，此時四邊形ADEF就不存在．

（1）證明：∵△ABD、△BCE和△ACF是等邊三角形，

∴AC＝AF，AB＝BD，BC＝BE，∠EBC＝∠ABD＝60°，

∴∠DBE＝∠ABC＝60°﹣∠EBA，

在△DBE和△ABC中

，

∴△DBE≌△ABC，

∴DE＝AC，

∵AC＝AF，

∴DE＝AF，

同理AD＝EF，

∴四邊形ADEF是平行四邊形；

（2）解：當∠BAC＝150°時，四邊形ADEF是矩形，

理由是：∵△ABD和△ACF是等邊三角形，

∴∠DAB＝∠FAC＝60°，

∵∠BAC＝150°，

∴∠DAF＝90°，

∵四邊形ADEF是平行四邊形，

∴四邊形ADEF是矩形；

（3）解：這樣的平行四邊形ADEF不總是存在，

理由是：當∠BAC＝60°時，∠DAF＝180°，

此時點D、A、F在同一條直線上，此時四邊形ADEF就不存在．