Question

如圖，某中學校園有一塊長為35m，寬為16m的長方形空地，其中有一面已經鋪設長為26m的籬笆圍墻，學校設計在這片空地上，利用這面圍墻和用盡已有的可制作50m長的籬笆材料，圍成一個矩形花園或圍成一個半圓花園，請回答以下問題：

（1）能否圍成面積為300m²的矩形花園？若能，請寫出其中一種設計方案，若不能，請說明理由．
（2）若圍成一個半圓花園，則該如何設計？請寫出你的設計方案．（π取3.14）
（3）圍成的各種設計中，最大面積是多少？

Answer 1

(1)能，設計方案見解析；（2）設計方案見解析；（3）343.43m².

解析試題分析：（1）首先表示出矩形的長與寬，利用矩形面積得出等式，進而解方程得出；
（2）利用已知得出設新增加am，則半圓弧長為：，進而得出a的值，即可得出答案；
（3）利用二次函數最值求法得出矩形最值再利用半圓面積公式得出半圓面積，進而比較即可．
試題解析：（1）設垂直于已經鋪設長為26m的籬笆圍墻的一邊為xm，則平行于原籬笆的長為（50-2x）m，
根據題意得出：x（50-2x）=300，
解得：x₁=10，x₂=15，
當x=10，則50-20=30＞26，故不合題意舍去，
∴能圍成面積為300m²的矩形花園，此時長為20m，寬為15m；
（2）∵當r=13時，∴l_半圓=πr=3.14×13=40.82＜50，
∴半圓的直徑應大于26m，設新增加am，則半圓弧長為：，
∴a+=50，
解得：a≈3.57，
∴半圓直徑為：26+3.57=29.57（m），
∴半圓的半徑為：14.79m；
（3）S₁=x（50-2x）=-2x²+50x，
當x=12.5時，S_最大==312.5（m²），
S_半圓=π×14.79²≈343.43（m²），
∴圍成的各種設計中，最大面積是半圓面積為343.43m²．
考點: 1.二次函數的應用；2.一元二次方程的應用．