Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2﹣2x+3的圖象與x軸交于A．B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C，點D為拋物線的頂點．

（1）求A，B，C，D的坐標；
（2）判斷以點A，C，D為頂點的三角形的形狀，并說明理由；
（3）點M（ m，0）（﹣3＜m＜﹣1）為線段AB上一點，過點M作x軸的垂線，與直線AC交于點E，與拋物線交于點P，過點P作PQ∥AB交拋物線于點Q，過點Q作QN⊥x軸于點N，得矩形PQNM，當矩形PQMN的周長最大時，m的值是多少？并直接寫出此時△AEM的面積．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由拋物線y+﹣x2﹣2x+3可得，當x=0時，y=0，即C（0，3）．

當y=0，﹣x2﹣2x+3=0，解得，x=﹣3或x=l，令x=0，得y=3，

∴A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3），

把y=﹣x2﹣2x+3化為頂點式為y=﹣（x+1）2+4，

∴D（﹣1，4）

（2）

解：結論：△ACD是直角三角形，理由如下，

連接CD、AD，設拋物線的對稱軸交AC于點H，過點C作CF⊥DH于點F，則F（﹣1，3）．

由A（﹣3，0），C（0，3）得直線AC的解析式為y=x+3，

把x=﹣1代入y=x+3得，y=2，即H（﹣1，2），

∴DF=4﹣3=1，FH=3﹣2=1，

∴DF=FH=CF=1，

∴∠HCD=90°，

∴△ACD是直角三角形

（3）

解：由D（﹣1，4）可知，對稱軸為x=﹣1，

∵M（m，0），∴PM=﹣m2﹣2m+3，MN=（﹣m﹣1）×2=﹣2m﹣2，

∴矩形PMNQ的周長=2（PM+MN）

=（﹣m2﹣2m+3﹣2m﹣2）×2

=﹣2m2﹣8m+2，

∵﹣2m2﹣8m+2=﹣2（m+2）2+10，

∴m=﹣2時，矩形的周長最大，

∵A（﹣3，0），C（0，3），設直線AC解析式為y=kx+b，

則 解得： ，

∴解析式y=x+3，當x=﹣2時，則E（﹣2，1），

∴EM=1，AM=1，

∴S= AMEM= ．

【解析】（1）通過解析式即可得出C點坐標，令y=0，解方程得出方程的解，即可求得A、B的坐標．（2）結論：△ACD是直角三角形．連接CD、AD，設拋物線的對稱軸交AC于點H，過點C作CF⊥DH于點F，只要證明DF=FH=CF即可解決問題．（3）設M點橫坐標為m，則PM=﹣m2﹣2m+3，MN=（﹣m﹣1）×2=﹣2m﹣2，矩形PMNQ的周長d=﹣2m2﹣8m+2，將﹣2m2﹣8m+2配方，根據二次函數的性質，即可得出m的值，然后求得直線AC的解析式，把x=m代入可以求得三角形的邊長，從而求得三角形的面積．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二次函數的圖象的相關知識，掌握二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點，以及對二次函數的性質的理解，了解增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．