Question

研究發現，二次函數y=ax²（a≠0）圖象上任何一點到定點（0，）和到定直線的距離相等．我們把定點（0，）叫做拋物線y=ax²的焦點，定直線叫做拋物線y=ax²的準線．
（1）寫出函數圖象的焦點坐標和準線方程；
（2）等邊三角形OAB的三個頂點都在二次函數圖象上，O為坐標原點，求等邊三角形的邊長；
（3）M為拋物線上的一個動點，F為拋物線的焦點，P（1，3）為定點，求MP+MF的最小值．

Answer 1

解：（1）由題意得，焦點坐標為：（0，1），準線方程為：y=-1；

（2）
設A（x，y），B（-x，y），
∵△OAB是等邊三角形，
∴∠AOE=∠AOB=30°，
∴y=x，
將點A坐標（x，y）=（x，x）代入函數解析式，可得x=x²，
解得：x=4，
故可得點A坐標為（4，12），三角形的邊長=OA==8．

（3）
過點M作MN⊥準線，交準線于點N，
則由題意可得，MN=MF，
故可得：MP+MF=MP+MN，
結合圖形可得過點P作PE⊥準線，交準線于點E，則PE于拋物線的交點M'能滿足MP+MF最小，
此時M'P+M'F=PE=4．
分析：（1）根據焦點坐標為（0，），準線方程為，即可得出答案．
（2）根據題意可設A（x，y），B（-x，y），從而根據等邊三角形及拋物線的性質可得出∠AOE=30°，繼而可得出|y|=|x|，代入可得出x和y的值，也可求出等邊三角形的邊長．
（3）點P到點F的距離等于點P到準線的距離，從而根據垂線段最短的知識可找到點M的位置，結合圖形可得出這個最小值．
點評：此題考查了二次函數的綜合題，解答本題的關鍵是仔細審題得出函數的準線與焦點，綜合性較強，注意解答過程中將所學知識融會貫通．