Question

【題目】如圖，點O為Rt△ABC斜邊AB上一點，以OA為半徑的⊙O與BC相切于點D，與AC相交于點E，與AB相交于點F，連接AD．

（1）求證：AD平分∠BAC；

（2）若點E為弧AD的中點，探究線段BD，CD之間的數量關系，并證明你的結論；

（3）若點E為弧AD的中點，CD=，求弧DF與線段BD，BF所圍成的陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）答案見解析；（2）BD= 2CD；（3）

【解析】試題分析：（1）由Rt△ABC中，∠C=90°，⊙O切BC于D，易證得AC∥OD，繼而證得AD平分∠CAB．

（2）連接DE，OE．先四邊形OAED為菱形，再證明△OAE是等邊三角形，由等邊三角形的性質得∠OAD=∠CAD=30°，從而AD=BD=2CD；

（3）在Rt△ODB中，由勾股定理列方程求出OD的長，然后根據S陰影=S△ODB﹣S扇形ODF計算即可.

解：（1）證明：連接OD．則∠ODB=∠C=90°，

∴AC∥OD，

∴∠CAD=∠ADO．

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ADO．

∴∠CAD=∠OAD，

即AD平分∠BAC．

（2）連接DE，OE．

∵E為的中點，

∴=，

∴AE=DE．

∴∠CAD=∠ADE．

∵∠CAD=∠OAD，

∴∠OAD=∠ADE，

∴DE∥OA．

又AC∥OD，OA=OD，

∴四邊形OAED為菱形

∴AE=OA=OE．

∴∠OAC=60°．

∵∠C=90°，∠CAD=∠OAD，

∴∠B=90°﹣∠OAC=30°，

∠OAD=∠CAD=30°．

∴，∠B=∠OAD．

∴BD=AD=2CD．

（3）∵AC∥OD，∠OAC=60°，

∴∠DOB=∠OAC=60°．

∵∠ODB=90°，∠B=30°，

∴OB=2OD．

∵CD=，BD=2CD，

∴BD=．

在Rt△ODB中，

由勾股定理得，，

解得 OD=±2（負值舍去）．

∴S陰影=S△ODB﹣S扇形ODF

=

= .