Question

【題目】如圖，的角平分線，，、所對的邊記為、.

（1）當時，求的值；

（2）求的面積（用含，的式子表示即可）；

（3）求證：，之和等于，之積.

Answer 1

【答案】（1）2；（2）；（3）詳見解析.

【解析】

（1）過點作于點，利用直角三角形30度角的性質可知BE長，得，即點E、點D重合，中線與高線重合，可知AB=AC，即；

（2）表示方法有兩種，可能情形1：過點作于點，過點作延長線于點，解直角三角形可得，，利用三角形面積公式可得

和的面積相加即可；可能情形2：過點作于點，解直角三角形可得，直接利用三角形面積公式求解即可；

（3）由（2）中面積的兩種表示方法可直接證得結論.

解：（1）過點作于點

∵平分，∴.

在中，，.

∵，∴點與點重合，∴.

∴.

（2）答案不唯一.

可能情形1：過點作于點，過點作延長線于點

∵平分，∴.

∵在中，，，

在中，，

∴

.

可能情形2：過點作于點，用含的式子表示出，

于是.

（3）從上面兩種面積表示方法，，可得，化簡得，即，之和等于，之積.