Question

已知拋物線y=ax²-2ax+b的圖象經過點A（-3，6），并與X軸交于點B（-1，0）和點C，頂點為P．
（1）求拋物線的解析式．
（2）如圖，設D為線段OC上的一點，滿足∠DPC=∠BAC，求點D的坐標．
（3）設直線AC交y軸于S，直線CP交y軸于T，若點M為OT上一動點，過M點作MN⊥y軸交SC延長成于N，在CT的延長線上截取TQ=SN，連接NQ交y軸于R，下面有兩個結論：①MR的長度不變；②為定值．上述結論有且只有一個是正確的，請選擇你認為正確的結論度證明求值．

Answer 1

解：（1）把A（-3，6）和B（-1，0）代入y=ax²-2ax+b得，9a+6a+b=6，a+2a+b=0，解得a=，b=-，
∴拋物線的解析式為：y=x²-x-；

（2）作AH⊥x軸與H，PG⊥x軸于G，如圖，

對于y=x²-x-，令y=0，x²-x-=0，解得x₁=-1，x₂=3，
∴C點坐標為（3，0）；
∵y=x²-x-=（x-1）²-2，
∴P點坐標為（1，-2），
∴△AHC和△PGC都是等腰直角三角形，
∴∠ACB=∠PCD=45°，AC=AH=6，PC=PG=2，
∵∠DPC=∠BAC，
∴△DPC∽△BAC，
∴DC：BC=PC：AC，即DC：4=2：6，
∴DC=，
∴OD=OC-DC=3-=，
∴D點坐標為（，0）；

（3）①MR的長度不變是正確的．理由如下：
設OM=t，
∵∠SCB=∠BCP=45°，
∴BS=BC=3，∠TCS=90°，
∴△TSC、△SMN、△TQE都為等腰直角三角形，
∴ST=SC=BC=6，MN=MS=3+t，
∴OT=3，MT=3-t，
又∵TQ=SN，
∴Rt△TQE≌Rt△SNM，
∴QE=MN=3+t，
∴RM=RE，TE=QE=3+t，
∴ME=MT+TE=3-t+3+t=6，
∴MR=ME=3，即MR的長度不變；
而RT=MR-MT=3-（3-t）=t，
∴=，即隨t的變化而變化．
分析：（1）把A（-3，6）和B（-1，0）代入y=ax²-2ax+b得關于a和b的方程組，解方程組即可；
（2）先求出A點、C點和P點坐標，通過坐標特點得到△AHC和△PGC都是等腰直角三角形，則∠ACB=∠PCD=45°，AC=AH=6，PC=PG=2，滿足∠DPC=∠BAC，則△DPC∽△BAC，利用相似比計算出CD，在計算出OD，即可得到點D的坐標．
（3）設OM=t，由（2）易得△TSC、△SMN、△TQE都為等腰直角三角形，ST=SC=BC=6，MN=MS=3+t，得OT=3，MT=3-t；易證Rt△TQE≌Rt△SNM，得到QE=MN=3+t，則RM=RE，TE=QE=3+t，可求出ME=MT+TE=3-t+3+t=6，從而得到MR=ME=3，即MR的長度不變．
點評：本題考查了二次函數解析式的確定：把拋物線上的點的坐標代入解析式確定字母的值即可．也考查了利用坐標表示線段、等腰直角三角形的性質、三角形全等和相似的判定與性質．