Question

【題目】如圖，在矩形中，，，點是邊上一點，且，點在邊上，過點、、作圓，交邊或其延長線于，連接，，，設（）．

（1）求的值；

（2）若，求的值；

（3）若，求弧的長；

（4）若圓經過矩形的兩個頂點時，直接寫出的值．

（注：，，）

Answer 1

【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4）3或

【解析】

（1）由題意得∠FGE=∠ABE，根據銳角三角函數的定義可得出結論；

（2）連接EF，OE，證明Rt△BFG≌Rt△EFG（HL），得出BF=EF，由勾股定理得出x2=（6-x）2+32，解得．

（3）證明△ABE∽△EGF，得出，求出GF，EG，由銳角三角函數可求出∠FGE，由弧長公式可得出答案；

（4）分兩種情況：①若圓O經過矩形的頂點C時，②若圓O經過矩形的頂點D時，過點G作GM⊥AD，垂足M落在AD的延長線，由勾股定理可求出答案．

（1）

∴，

∵，

∴

（2）連接EF，OE，

∵四邊形是矩形，

∴，

∴是圓的直徑，

∴，

在和中，，，

∴，

∴

在Rt△AEF中，∵EF2=AE2+AF2，

∴x2=（6-x）2+32，

解得

（3）∵BF=2，

∴AF=AB-BF=6-2=4，

∵AE=3，

∴，

∵，

∴

∵，，

∴

∴，

∴，

∴

∴

∴

∴

∴弧的長

（4）3或

①若圓經過矩形的頂點時，

∵，，

∴，

∵，

∴

又∵，

∴，∴

②若圓經過矩形的頂點時，過作，垂足落在的延長線上，

易得四邊形是矩形，四邊形是矩形，過作于，延長交于，

∴，，

∴

∴，

∴，

∵，

∴，

∴．