Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，AC=3，AB=4，D為斜邊BC的中點(diǎn)，E為AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將△ABC沿直線DE折疊，A，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，，交BC于點(diǎn)F，若△BEF為直角三角形，則BE的長度為______.

Answer 1

【答案】或.

【解析】

根據(jù)∠B為銳角，分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)∠BEF=90°時(shí)，△BEF為直角三角形；當(dāng)∠BFE=90°時(shí)，△BEF為直角三角形，分別根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形中位線定理，軸對(duì)稱的性質(zhì)以及直角三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可得到BE的長度．

解：分兩種情況：

①如圖，當(dāng)∠BEF=90°時(shí)，△BEF為直角三角形，

過D作DM⊥AB于M，則∠EMD=90°，DM∥AC，

∵D為BC的中點(diǎn)，

∴M為AB的中點(diǎn)，

，

由折疊可得，，

∴△DEM是等腰直角三角形，

，

；

②如圖，當(dāng)∠BFE=90°時(shí)，△BEF為直角三角形，

連接AD，A'D，

根據(jù)對(duì)稱性可得，∠EAD=∠EA'D，AD=A'D

∵Rt△ABC中，AC=3，AB=4，

∴BC=5，

∵Rt△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，

，

∴∠B=∠EAD，

∴∠B=∠FA'D，

設(shè)BE=x，則，

，

又∵Rt△A'DF中，sin∠FA'D=sinB，即，

，

解得，

即，

綜上所述，BE的長度為或.