Question

對于正數x，規定f（x）=

x2

1+x2

，
（1）計算f（2）=

 

；f（

1

2

）=

 

；f（2）+f（

1

2

）=

 

；f（3）+f（

1

3

）=

 

；…
（2）猜想f（x）+f(

1

x

)=

 

，請予以證明．
（3）現在你會計算f(

1

2010

)+f（

1

2009

）+f（

1

2008

）+f（

1

2007

）+f（

1

2006

）+…f（

1

3

）+f（

1

2

）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2006）+f（2007）+f（2008）+f（2009）+f（2010）的值了嗎，寫出你的計算過程．

Answer 1

分析：（1）將x=2，

1

2

，3，

1

3

代入f（x）=

x2

1+x2

，計算即可；
（2）對（1）的結果進行分析，找出其規律；
（3）利用f（x）+f(

1

x

)=1，先計算f（1）=

1

2

；f（2）+f（

1

2

）=1；f（3）+f（

1

3

）=1；…f（2010）+f（

1

2010

）=1，再求和即可．

解答：解：（1）f（2）=

4

5

；f（

1

2

）=

1

5

；f（2）+f（

1

2

）=1；f（3）+f（

1

3

）=1；

（2）f（x）+f(

1

x

)=1；
證明：f（x）+f(

1

x

)=

x2

1+x2

+

1 x2

1+ 1 x2

=

x2

1+x2

+

1

1+x2

=

1+x2

1+x2

=1．

（3）原式=[f(

1

2010

)+f（2010）]+[f（

1

2009

）+f（2009）]+[f（

1

2008

）+f（2008）]+[f（

1

2007

）+f（2007）]+[f（

1

2006

）+f（2006）]+…+[f（

1

3

）+f（3）]+[f（

1

2

）+f（2）]+f（1）=2009+

1

2

=2009

1

2

．

點評：本題是一道找規律的題目，要求學生通過觀察，分析、歸納發現其中的規律，并應用發現的規律解決問題．根據題中所給的材料獲取所需的信息和解題方法是需要掌握的基本技能．