Question

【題目】如圖所示，⊙O是△ABC的外接圓，AB為直徑，∠BAC的平分線交⊙O于點D，過點D的切線分別交AB，AC的延長線于點E，F．

（1）求證：AF⊥EF．

（2）探究線段AF、CF、AB之間的數量關系，并證明．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）AF+CF=AB．證明見解析.

【解析】

（1）連接OD，由EF是⊙O的切線，可得OD⊥EF，由∠BAC的平分線交⊙O與點D，易證得OD⊥BC，即可得BC∥EF，由AB為直徑，根據直徑所對的圓周角是直角，可得AC⊥BC，繼而證得AF⊥EF；

（2）連接BD并延長，交AF的延長線于點H，連接CD，易證得△ADH≌△ADB，△CDF≌△HDF，繼而證得AF+CF=AB．

（1）連接OD，

∴OD⊥EF，

∵AD平分∠BAC，

∴，

由垂徑定理知OD⊥BC，

又AB是直徑，

∴∠ACB=90°，即AF⊥BC，

∴AF∥OD，

∴AF⊥EF；

（2）AF+CF=AB，證明如下：

過D作DH⊥AB于H，則DH=DF，AH=AF，

∵，

∴DC=DB，

在 Rt△CFD與 Rt△BHD中，

，

∴Rt△CFD≌Rt△BHD（HL），

∴BH=CF，

∴AB=AH+HB=AF+CF．