Question

【題目】在△ABC中，∠A=40°：
（1）如圖（1）BO、CO是△ABC的內角角平分線，且相交于點O，求∠BOC；
（2）如圖（2）BO、CO是△ABC的外角角平分線，且相交于點O，求∠BOC；
（3）如圖（3）BO、CO分別是△ABC的一內角和一外角角平分線，且相交于點O，求∠BOC；
（4）根據上述三問的結果，當∠A=n°時，分別可以得出∠BOC與∠A有怎樣的數量關系（只需寫出結論）．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵∠BOC=180°﹣∠OBC﹣∠OCB，

∴2∠BOC=360°﹣2∠OBC﹣2∠OCB，

而BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，

∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，

∴2∠BOC=360°﹣（∠ABC+∠ACB），

∵∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，

∴2∠BOC=180°+∠A，

∴∠BOC=90°+ ∠A．

當∠A=40°，∠BOC=110°；

（2）解：∠OBC= （∠A+∠ACB），∠OCB= （∠A+∠ABC），

∠BOC=180°﹣∠0BC﹣∠OCB，

=180°﹣ （∠A+∠ACB）﹣ （∠A+∠ABC），

=180°﹣ ∠A﹣ （∠A+∠ABC+∠ACB），

結論∠BOC=90°﹣ ∠A．∠BOC=90°﹣ ∠A．

當∠A=40°，∠BOC=70°．

（3）解：∵∠OCE=∠BOC+∠OBC，∠ACE=∠ABC+∠A，

而BO平分∠ABC，CO平分∠ACE，

∴∠ACE=2∠OCE，∠ABC=2∠OBC，

∴2∠BOC+2∠OBC=∠ABC+∠A，

∴2∠BOC=∠A，

即∠BOC= ∠A．

當∠A=40°，∠BOC=20°

（4）解：∠BOC=90°+ n；∠BOC=90°﹣ n；∠BOC= n
【解析】（1）根據三角形內角和定理得到∠BOC=180°﹣∠OBC﹣∠OCB，則2∠BOC=360°﹣2∠OBC﹣2∠OCB，再根據角平分線的定義得∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，則2∠BOC=360°﹣∠ABC﹣∠ACB，易得∠BOC=90°+ ∠A．（2）根據三角形內角和定理和外角性質可得到∠BOC=90°﹣ ∠A；（3）根據角平分線的定義得∠ACE=2∠OCE，∠ABC=2∠OBC，由三角形外角的性質有∠OCE=∠BOC+∠OBC，∠ACE=∠ABC+∠A，則2∠BOC+2∠OBC=∠ABC+∠A，即可得到∠BOC= ∠A；（4）利用以上結論直接得出答案即可．
【考點精析】利用三角形的內角和外角和三角形的外角對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知三角形的三個內角中，只可能有一個內角是直角或鈍角；直角三角形的兩個銳角互余；三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角；三角形一邊與另一邊的延長線組成的角，叫三角形的外角；三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角．