Question

【題目】如圖，直線AD經過⊙O上的點A，△ABC為⊙O的內接三角形，并且∠CAD＝∠B．

（1）判斷直線AD與⊙O的位置關系，并說明理由；

（2）若∠CAD＝30°，⊙O的半徑為1，求圖中陰影部分的面積．（結果保留π）

Answer 1

【答案】（1）直線AD與⊙O的位置關系是相切，理由見解析；（2）

【解析】

（1）作直徑AE，連接CE，求出∠OAD＝90°，根據切線的判定得出即可；

（2）求出△OAC是等邊三角形，再分別求出△OAC和扇形OCA的面積，即可得出答案．

（1）直線AD與⊙O的位置關系是相切，

理由是：作直徑AE，連接CE，

∵AE為直徑，

∴∠ACE＝90°，

∴∠E+∠EAC＝90°，

∵∠B＝∠DAC，∠B＝∠E，

∴∠E＝∠DAC，

∴∠EAC+∠DAC＝90°，

即OA⊥AD，

∵OA過O，

∴直線AD與⊙O的位置關系是相切；

（2）連接OC，過O作OF⊥AC于F，則∠OFA＝90，

∵∠CAD＝30°，∠DAO＝90°，

∴∠OAC＝60°，

∵OC＝OA＝1，

∴△OAC是等邊三角形，

∴AC＝OA＝1，∠AOC＝60°，

∵OA＝OC，OF⊥AC，

∴AF＝FC＝，

由勾股定理得：OF＝，

∴陰影部分的面積為：