Question

【題目】如圖，將函數y=x2﹣2x（x≥0）的圖象沿y軸翻折得到一個新的圖象，前后兩個圖象其實就是函數y=x2﹣2|x|的圖象．

（1）觀察思考

函數圖象與x軸有　 　個交點，所以對應的方程x2﹣2|x|=0有　 　個實數根；方程x2﹣2|x|=2有　 　個實數根；關于x的方程x2﹣2|x|=a有4個實數根時，a的取值范圍是　 　；

（2）拓展探究

①如圖2，將直線y=x+1向下平移b個單位，與y=x2﹣2|x|的圖象有三個交點，求b的值；

②如圖3，將直線y=kx（k＞0）繞著原點旋轉，與y=x2﹣2|x|的圖象交于A、B兩點（A左B右），直線x=1上有一點P，在直線y=kx（k＞0）旋轉的過程中，是否存在某一時刻，△PAB是一個以AB為斜邊的等腰直角三角形（點P、A、B按順時針方向排列）．若存在，請求出k值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）3，3，2，﹣1＜a＜0；（2）①1或；②k=．

【解析】試題分析：（1）|x|圖象關于x軸對稱.(2) 當直線y=x+1﹣b經過原點或與拋物線y=x2+2x只有一個交點時，與y=x2﹣2|x|的圖象有三個交點,聯立方程組可得b的值(3). 作BE⊥直線x=1于E，AF⊥直線x=1于F,證明△PAF≌△BPE，聯立二次函數和一次函數解方程求k的值.

試題解析：

解：（1）函數y=x2﹣2|x|的圖象與x軸交于點（﹣2，0），（0，0），（2，0），有3個交點，∴方程x2﹣2|x|=0有3實數根,

觀察圖象可知方程x2﹣2|x|=2有2實數根,

關于x的方程x2﹣2|x|=a有4個實數根時，a的取值范圍是﹣1＜a＜0．

故答案為：3，3，2，﹣1＜a＜0．

（2）①設平移后的直線的解析式為y=x+1﹣b，觀察圖象可知，當直線y=x+1﹣b經過原點或與拋物線y=x2+2x只有一個交點時，與y=x2﹣2|x|的圖象有三個交點，∴1﹣b=0，b=1，由消去y得到x2+x﹣1+b=0，由題意△=0，∴1﹣4（﹣1+b）=0，∴b= ，綜上所述，滿足條件的b的值為1或．

（3）如圖3中，作BE⊥直線x=1于E，AF⊥直線x=1于F．

∵∠AFP=∠PEB=∠APB=90°，∴∠APF+∠PAF=90°，∠APF+∠BPE=90°，

∴∠PAF=∠BPE，∵PA=PB，∴△PAF≌△BPE，∴AF=PE，PF=BE，

由,解得 或，

∴A[k﹣2，k（k﹣2）]，由，解得 或，

∴B[k+2，k（k+2）]，∴BE=PF=k+1，AF=PE=3﹣k，∴P（1，k2﹣3k﹣1），∴k2+2k﹣（k2﹣3k﹣1）=3﹣k，∴k=．