Question

【題目】小明在某次作業中得到如下結果： sin27°+sin283°≈0.122+0.992=0.9945，
sin222°+sin268°≈0.372+0.932=1.0018，
sin229°+sin261°≈0.482+0.872=0.9873，
sin237°+sin253°≈0.602+0.802=1.0000，
sin245°+sin245°≈（ ）2+（ ）2=1．
據此，小明猜想：對于任意銳角α，均有sin2α+sin2（90°﹣α）=1．
（Ⅰ）當α=30°時，驗證sin2α+sin2（90°﹣α）=1是否成立；
（Ⅱ）小明的猜想是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，請舉出一個反例．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）當α=30°時， sin2α+sin2（90°﹣α）
=sin230°+sin260°
=（ ）2+（ ）2
= +
=1；
（Ⅱ）小明的猜想成立，證明如下：
如圖，在△ABC中，∠C=90°，

設∠A=α，則∠B=90°﹣α，
∴sin2α+sin2（90°﹣α）
=（ ）2+（ ）2
=
=
=1．
【解析】（1）將α=30°代入，根據三角函數值計算可得；（2）設∠A=α，則∠B=90°﹣α，根據正弦函數的定義及勾股定理即可驗證．
【考點精析】本題主要考查了互余兩角的三角函數關系和特殊角的三角函數值的相關知識點，需要掌握互余關系：sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A)，tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A)；分母口訣：30度、45度、60度的正弦值、余弦值的分母都是2，30度、45度、60度的正切值、余切值的分母都是3，分子口訣：“123，321，三九二十七”才能正確解答此題．