Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于、兩點（在的左側），與軸交于點，過點的直線：與軸交于點，與拋物線的另一個交點為，己知，，點為拋物線上一動點（不與、重合）．

（1）直接寫出拋物線和直線的解析式；

（2）當點在直線上方的拋物線上時，連接、，

①當的面積最大時，點的坐標是________；

②當平分時，求線段的長．

（3）設為直線上的點，探究是否存在點，使得以點、，、為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1），；（2）①，②；（3）存在，或或或．

【解析】

（1）將點A、D的坐標分別代入直線表達式、拋物線的表達式，即可求解；
（2）①先找出當的面積最大時，點的位置為與直線平行且與拋物線相切的點，設直線解析式為，即有唯一解，求出的值，再解方程求出x、y，即為P點的坐標；②過作軸于點，由先求出，根據平分線定義得，設點坐標為，依題意有，求出t的值，進而求得PA的長；

（3）分NC是平行四邊形的一條邊、NC是平行四邊形的對角線，兩種情況分別求解即可．

解：（1）將點、的坐標代入直線表達式得：，解得：，

故直線的表達式為：，

將點、的坐標代入拋物線表達式，

同理可得拋物線的表達式為：；

（2）①當的面積最大時，點到直線的距離就最大，

所以點在與直線平行并且與拋物線相切的直線上，即點是這兩個圖像的唯一交點．

設點坐標為，依題意有：

∴

∵直線與拋物線相切，即只有一個交點

∴ ∴

∴

∴ ∴

由此得點坐標為

②過作軸于點，

由直線的解析式，可得

∴

∵ ∴

∴當平分時，，則

∴是等腰直角三角形

∴

設點坐標為，依題意有

∴，（舍去）

∴

∴

（3），

①當是平行四邊形的一條邊時，

設點坐標為、則點，

由題意得：，即：，

解得：或0或4（舍去0），

則：或或-5

則點坐標為或或；

②當是平行四邊形的對角線時，

則的中點坐標為

設點坐標為、則點，

、，、為頂點的四邊形為平行四邊形，則的中點即為中點，

即：，，

解得：或4（舍去0），d=﹣4,-d-1=3

故點；

故點M的坐標為：或或或．