Question

【題目】如圖，直線與軸、軸相交于、兩點，拋物線過點、，且與軸另一個交點為，以、為邊作矩形，交拋物線于點．

（1）求拋物線的解析式以及點的坐標；

（2）已知直線交于點，交于點，交于點，交拋物線（上方部分）于點，請用含的代數式表示的長；

（3）在（2）的條件下，連接，若和相似，求的值．

Answer 1

【答案】（1），的坐標為；（2）；（3）的值為或1．

【解析】

（1）先求出點B、C的坐標，再利用待定系數法可求出拋物線的解析式，然后令即可求出點A的坐標；

（2）先利用待定系數法求出直線AC的解析式，從而可得點M的坐標，再根據拋物線可得點P的坐標，然后根據即可得；

（3）先根據點的坐標、正方形的性質分別求出AE、ME、CF、PF的長，再根據相似三角形的性質即可得．

（1）對于直線

當時，，解得，則點的坐標為

當時，，則點的坐標為

將點B、C的坐標代入拋物線的解析式得：，解得

則拋物線的解析式為

令得，解得或

∴點的坐標為；

（2）設直線的解析式為

把，代入得，解得

∴直線的解析式為

∵點的橫坐標為，點在上

∴點的坐標為

∵點的橫坐標為，點在拋物線上

∴點的坐標為

∴

即；

（3）由題意得，，，

根據相似三角形的性質，分以下兩種情況：

①若，則

即

∵且

∴；

②若，則

即

∵且

∴

綜上，的值為或1．