Question

【題目】已知直線y＝kx+b經(jīng)過點(diǎn)A（0，2），B（﹣4，0）和拋物線y＝x2．

（1）求直線的解析式；

（2）將拋物線y＝x2沿著x軸向右平移，平移后的拋物線對稱軸左側(cè)部分與y軸交于點(diǎn)C，對稱軸右側(cè)部分拋物線與直線y＝kx+b交于點(diǎn)D，連接CD，當(dāng)CD∥x軸時(shí)，求平移后得到的拋物線的解析式；

（3）在（2）的條件下，平移后得到的拋物線的對稱軸與x軸交于點(diǎn)E，P為該拋物線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作拋物線對稱軸的垂線，垂足為Q，是否存在這樣的點(diǎn)P，使以點(diǎn)E，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x+2；（2）y＝x2﹣4x+4；（3）（，），（，），（0，4）或（4，4）．

【解析】

（1）根據(jù)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出直線AB的解析式；

（2）設(shè)平移后拋物線的解析式為y＝（x﹣m）2（m＞0），則平移后拋物線的對稱軸為直線x＝m，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，m2），由CD∥x軸，可得出點(diǎn)C，D關(guān)于直線x＝m對稱，進(jìn)而可得出點(diǎn)D的坐標(biāo)，再利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可得出關(guān)于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；

（3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，a2﹣4a+4），則PQ＝|a﹣2|，EQ＝a2﹣4a+4，由∠PQE＝90°可得出△EQP∽△AOB或△PQE∽△AOB，①當(dāng)△EQP∽△AOB時(shí)，利用相似三角形的性質(zhì)可得出關(guān)于a的方程，解之即可得出a值，將其代入點(diǎn)P的坐標(biāo)即可得出結(jié)論；②當(dāng)△PQE∽△AOB時(shí)，利用相似三角形的性質(zhì)可得出關(guān)于a的方程，解之即可得出a值，將其代入點(diǎn)P的坐標(biāo)即可得出結(jié)論．綜上，此題得解．

解：（1）將A（0，2），B（﹣4，0）代入y＝kx+b，得：

，解得：，

∴直線AB的解析式為y＝x+2．

（2）如圖1，設(shè)平移后拋物線的解析式為y＝（x﹣m）2（m＞0），則平移后拋物線的對稱軸為直線x＝m，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，m2）．

∵CD∥x軸，

∴點(diǎn)C，D關(guān)于直線x＝m對稱，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2m，m2）．

∵點(diǎn)D在直線y＝x+2上，

∴m2＝×2m+2，

解得：m1＝﹣1（舍去），m2＝2，

∴平移后拋物線的解析式為y＝（x﹣2）2，即y＝x2﹣4x+4．

（3）存在這樣的點(diǎn)P，使以點(diǎn)E，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似．

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，a2﹣4a+4），則PQ＝|a﹣2|，EQ＝a2﹣4a+4．

∵∠PQE＝90°，

∴分兩種情況考慮，如圖2所示．

①當(dāng)△EQP∽△AOB時(shí)，，即，

化簡，得：|a﹣2|＝，

解得：a1＝，a2＝，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）或（，）；

②當(dāng)△PQE∽△AOB時(shí)，，即，

化簡，得：|a﹣2|＝2，

解得：a1＝0，a2＝4，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，4）或（4，4）．

綜上所述：存在這樣的點(diǎn)P，使以點(diǎn)E，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，），（，），（0，4）或（4，4）．