Question

【題目】已知如圖拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點A（﹣1，0）、B（3，0），與y軸交于點C（0，﹣3）

（1）請直接寫出拋物線的解析式．
（2）拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使得△ACP的周長最短，若存在，請直接寫出點P的坐標．
（3）點G的坐標是（2，﹣3），點F是x軸上一點，拋物線上是否存在點R，使得以A，G，F，R為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出點R的坐標．
（4）在B、C連線的下方拋物線上是否存在一點Q，使得△QBC的面積是△ABC的面積的一半？若存在，求出點Q的坐標．
（5）拋物線的頂點設為D，對稱軸與y軸的交點為E，M（m，0）是x軸上一動點，點N是線段DE上的一點，若∠MNC=90°，請直接寫出實數m的變化范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點A（﹣1，0）、B（3，0），

∴y=a（x+1）（x﹣3），

把點C（0，﹣3）代入y=a（x+1）（x﹣3）得，a=1，

∴拋物線的解析式為；y=x2﹣2x﹣3

（2）解：存在，如圖1

，

連接BC交對稱軸于P，

則PA+PC=BC最短，

即△ACP的周長最短，

設直線BC的解析式為：y=kx+b，

∴ ，解得： ，

∴直線BC的解析式為：y=x﹣3，

∵拋物線的對稱軸是直線x=1，

把x=1代入y=x﹣3，

得y=﹣2，

∴P（1，﹣2）

（3）解：存在點R，使得以A，G，F，R為頂點的四邊形是平行四邊形，

①平行四邊形ARGF時，RG∥AF，yR=yG=﹣3，

當y=﹣3時，x2﹣2x﹣3=﹣3，解得x1=0，x2=2（舍）

點R1（0，﹣3）；

②平行四邊形AGFR時，yR+yG=0，即yR=3，當y=3時，x2﹣2x﹣3=3，解得x1=1﹣ ，x2=1+ ，

R2（1﹣ ，3 ），R3（1+ ，3），

綜上所述：存在，點R的坐標（0，﹣3），（1﹣ ，3 ），（1+ ，3）

（4）解：如圖2

，

連BC，直線BC解析式為y=x﹣3，△ABC面積可求得6．

△ABC與△QBC同底，

則底BC上的高應為 ，

過點C，作CQ⊥BC，則CQ= ，再過Q作QH⊥y軸與H，

由Rt△CHQ∽△COB，得Q（1，﹣4），過Q作直線QL∥BC，

直線QL解析式可求得y=x﹣5，

聯立方程組，得 ，

解得 ， ，

所以在BC連線下方的拋物線上存在這點Q1（1，﹣4）Q2（2，﹣3）使得△QBC是△ABC面積的一半

（5）解：如圖3

，

①作∠MNC=90°，過點C做CF⊥DE，則△CFN∽△NEM，得

．

設NE=n，M（m，0），D（1，﹣4），C（0，﹣3），

則CF=1，NE=n，FN=3﹣n，ME=1﹣m，

代入比例式，得

一元二次方程n2﹣3n+（1﹣m）=0 關于n的一元二次方程有解，

則m≥﹣ ；

②當點N移動到點D時，△CNF是等腰直角三角形，與△ENM仍然相似，

所以EM=EN=4，

所以此時m=5，

綜上可知 m的范圍是﹣ ≤m≤5

【解析】（1）根據待定系數法，可得答案；（2）根據軸對稱的性質，可得A、B關于對稱軸對稱，根據線段的性質可得答案；（3）根據平行四邊形的性質可得答案；（4）根據面積可得CQ的長度，根據平行線的性質，可得QL，根據解方程組可得答案；（5）根據相似三角形的性質，可得關于n的方程，根據方程跟的判別式可得答案，再根據相似三角形的性質可得答案。
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解平行線的性質的相關知識，掌握兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內錯角相等；兩直線平行，同旁內角互補，以及對平行四邊形的性質的理解，了解平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分．