Question

如圖①所示，將一個正三角形紙片沿著它的一條邊上的高剪開，得到如圖②所示的兩個全等的Rt△ABC、Rt△DEF．

（1）根據正三角形的性質可知：在圖②中，∠ABC=∠DEF=30°，AB=DE=2AC=2DF．由此請你歸納一下在含30°角的直角三角形中，30°角所對的直角邊與斜邊之間的關系：
在含30°角的直角三角形中，30°角所對的直角邊________；
（2）將這兩個直角三角形紙片按如圖③放置，使點B、D重合，點F在BC上．固定紙片DEF，將△ABC繞點F逆時針旋轉角α（0°＜α＜90°），使四邊形ACDE為以ED為底的梯形（如圖④所示），求此時α的值；
（3）猜想圖④中AE與CD之間的大小關系，并說明理由．

Answer 1

解：（1）FD=AC=AB=DE．
故答案為：等于斜邊的一半．

（2）解：設DE交BC于點I
∵AC∥DE，
∴∠CIE=∠ACB=90°，
∵∠FDE=60°，
∴α=30°．
答：α=30°．

（3）AE=CD，
理由是：
在圖④中，設DE交BC于點I，作AH垂直于ED，設FD=2x，
則由（1）得ED=4x，ID=x，
∵梯形ACDE，AC∥DE，
∵∠ACB=90°，
∴∠CID=90°，
又因為AC=FD=2x，
所以HI=AC=2x，
EH=4x-2x-x=x，
∵AC∥DE，
∴AH=CI，
∵∠AHE=∠CBD=90°，
∴△AHE≌△CID，
∴AE=CD．
分析：（1）由等邊三角形的性質即可得到答案；
（2）設DE交BC于點I，由∠CBD和∠FDB的度數即可求出a的度數；
（3）設DE交BC于點I，作AH垂直于ED，設FD=2x，推出HI=2x，EH=ID=x，再證△AHE和△CID全等，即可得到答案．
點評：本題主要考查了線段垂直平分線的性質，全等三角形的性質和判定，等邊三角形的性質，含30°角的直角三角形的性質等知識點，熟練地運用性質進行證明是解此題的關鍵．題型較好，綜合性強．