Question

已知：△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D．
（1）如圖（1），若點M在線段AD上（點M不與點A重合），則∠AMB______∠AMC（請填＞，=或＜）；
（2）如圖2，若點M在線段BD上（點M不與點B，D重合），點N在線段CD上且ND=MD，則∠AMB______∠ANC，∠AMC______∠ANC（請填＞，=或＜）；
（3）如圖3，若點M在△ABD的內部，是比較∠AMB與∠AMC的大小，并證明你的結論．

Answer 1

（1）∵AB=AC，AD⊥BC于D，
∴∠BAM=∠CAM（等腰三角形三線合一），
在△ABM與△ACM中，

AB=AC ∠BAM=∠CAM AM=AM

，
∴△ABM≌△ACM（SAS），
∴∠AMB=∠AMC；

（2）∵AD⊥BC，
∴∠ADM=∠ADN=90°，
在△ADM與△ADN中，

ND=MD ∠ADM=∠ADN=90° AD=AD

，
∴△ADM≌△ADN（SAS），
∴∠AMD=∠AND，
∴180°-∠AMD=180°-∠AND，
即∠AMB=∠ANC，
在Rt△ADN中，∠AND是銳角，
∴∠AND＜∠ANC，
∴∠AMC＜∠ANC；

（3）如圖，作點M關于AD的對稱點N，連接AN，CN，延長CN交AM于點P，
∵AB=AC，AD⊥BC于D，
∴AD垂直平分BC，
∴點B、C關于AD所在的直線對稱，
∴△ABM≌△ACN，
∴∠1=∠2，
∵∠2是△APN的外角，
∴∠2＞∠3，
∵∠3是△PMC的外角，
∴∠3＞∠PMC，
∴∠1＞∠PMC，
即∠AMB＞∠AMC．
故答案為：（1）=；（2）=，＜；（3）∠AMB＞∠AMC．