Question

【題目】如圖，已知平行四邊形ABCD延長BA到點E，延長DC到點E，使得AE＝CF，連結EF，分別交AD、BC于點M、N，連結BM，DN．

（1）求證：AM＝CN；

（2）連結DE，若BE＝DE，則四邊形BMDN是什么特殊的四邊形？并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）四邊形BMDN是菱形，理由見解析.

【解析】

（1）由題意可證△AEM≌△FNC，可得結論．

（2）由題意可證四邊形BMDN是平行四邊形，由題意可得BE=DE=DF，即可證∠BEM=∠DEF，即可證△BEM≌△DEM，可得BM=DM，即可得結論．

（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形

∴AB∥CD，AD∥BC，∠BAD＝∠BCD

∴∠E＝∠F，∠EAM＝∠FCN

∵∠E＝∠F，∠EAM＝∠FCN，AE＝CF

∴△AEM≌△CFN

∴AM＝CN

（2）菱形

如圖

∵AD＝BC，AM＝CN

∴MD＝BN且AD∥BC

∴四邊形BMDN是平行四邊形

∵AB＝CD，AE＝CF

∴BE＝DF，且BE＝DE

∴DE＝DF

∴∠DEF＝∠DFE

且∠BEF＝∠DFE

∴∠BEF＝∠DEF，且BE＝DE，EM＝EM

∴△BEM≌△EMD

∴BM＝DM

∵四邊形BMDN是平行四邊形

∴四邊形BMDN是菱形.