Question

【題目】如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，∠B=60°，AB=10，BC=4，點P沿線段AB從點A向點B運動，設AP=x．

（1）求AD的長；

（2）點P在運動過程中，是否存在以A、P、D為頂點的三角形與以P、C、B為頂點的三角形相似？若存在，求出x的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）存在，x=2

【解析】

試題分析：（1）過C作CE⊥AB于點E，在△CEB中可求得CE，即可求得AD的長；

（2）因為△APD為直角三角形，所以△PBC也為直角三角形，分∠PCB=90°和∠CPB=90°兩種情況進行討論求解即可．

解：（1）如圖，過C作CE⊥AB于點E，

則四邊形AECD為矩形，

∴AD=CE，

在Rt△BEC中，BC=4，∠B=60°，

∴CE=BCsin60°=4×=2；

（2）存在．

若以A、P、D為頂點的三角形與以P、C、B為頂點的三角形相似，則△PCB必有一個角是直角．

①當∠PCB=90°時，

在Rt△BCP中，∠B=60°，BC=4，

可求得BP=8，此時AP=2，

在Rt△ADP中，由勾股定理可求得PD=4，

∴=，=，

∴=，且∠DAP=∠PCB，

∴△ADP∽△CPB，

此時AP=x=2；

②當∠CPB=90°時，P點即為E點位置，此時BP=2，AP=8，即

∵==，=，

∴≠，

∴△PCB與△ADP不相似，

綜上可知當x=2時，△ADP∽△CPB．