Question

如圖，在正方形ABCD中，點P是AB上一動點（不與A，B重合），對角線AC，BD相交于點O，過點P分別作AC，BD的垂線，分別交AC，BD于點E，F，交AD，BC于點M，N．下列結論：①△APE≌△AME；②PM+PN=AC；③PE²+PF²=PO²；④△POF∽△BNF；⑤當△PMN∽△AMP時，點P是AB的中點．其中正確的結論有（　　）

A．2個

B．3個

C．4個

D．5個

Answer 1

C.

解析試題分析： ∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAC=∠DAC=45°．∵在△APE和△AME中，，∴△APE≌△AME，故①正確；
∴PE=EM=PM，同理，FP=FN=NP．∵正方形ABCD中AC⊥BD，又∵PE⊥AC，PF⊥BD，∴∠PEO=∠EOF=∠PFO=90°，且△APE中AE=PE，∴四邊形PEOF是矩形．∴PF=OE，∴PE+PF=OA，又∵PE=EM=PM，FP=FN=NP，OA=AC，∴PM+PN=AC，故②正確；
∵四邊形PEOF是矩形，∴PE=OF，在直角△OPF中，OF²+PF²=PO²，∴PE²+PF²=PO²，故③正確．
∵△BNF是等腰直角三角形，而△POF不一定是，故④錯誤；
∵△AMP是等腰直角三角形，當△PMN∽△AMP時，△PMN是等腰直角三角形．∴PM=PN，又∵△AMP和△BPN都是等腰直角三角形，∴AP=BP，即P時AB的中點．故⑤正確．故選C．
考點：1．相似三角形的判定與性質；2．全等三角形的判定與性質；3．勾股定理；4．正方形的性質．