Question

【題目】如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=3cm，AD=5cm，折疊紙片使B點落在邊AD上的點E處，折痕為PQ．過點E作EF∥AB交PQ于點F,連接BF

（1）若AP： BP=1：2，則AE的長為 ．

（2）求證：四邊形BFEP為菱形；

（3）當點E在AD邊上移動時，折痕的端點P、Q也隨之移動．若限定點P，Q分別在邊AB、BC上移動，求出點E在邊AD上移動的最大距離．

Answer 1

【答案】(1) cm，(2)證明見解析；(3)2cm；

【解析】

(1) 先根據AB=3cm，AP： BP=1：2，計算出AP、BP的長度，再根據勾股定理即可求得AE的長度；

(2)根據折疊的性質得到點B與點E關于PQ對稱，進而得到PB=PE，BF=EF，∠BPF=∠EPF，根據平行的性質再證明BP=BF=EF=EP即可得到答案；

(3) 找到E點離A最近和最遠的兩種情況，運用矩形的性質以及勾股定理即可求出點E在邊AD上移動的最大距離；

解：(1)∵AB=3cm，

若AP： BP=1：2，則AP= ，BP=，

根據折疊的性質得到：PE=PB=2cm，

又∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠A=90°，

∴ ,

即：，

∴，即：，

故AE的長為：cm；

(2)∵折疊紙片使B點落在邊AD上的E處，折痕為PQ，
∴點B與點E關于PQ對稱．
∴PB=PE，BF=EF，∠BPF=∠EPF．
又∵EF∥AB，
∴∠BPF=∠EFP（兩直線平行，內錯角相等），
∴∠EPF=∠EFP（等量替換），
∴EP=EF，
∴BP=BF=EF=EP（四邊相等的四邊形是菱形），
∴四邊形BFEP為菱形；

(3)當點Q與點C重合時，如圖2所示，此時點E離點A最近，

∵四邊形ABCD是矩形，
∴BC=AD=5cm，CD=AB=3cm，∠A=∠D=90°．
∵點B與點E關于PQ對稱，
∴CE=BC=5cm，

在Rt△CDE中，

∴AE=AD-DE=5-4=1cm，此時AE=1cm；
當P點與A點重合時，如圖3所示，點E離點A最遠．

此時四邊形ABQE為正方形，AE=AB=3cm．
∴點E在邊AD上移動的最大距離為2cm．