Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y＝－x＋3與x軸交于點C，與直線AD交于點A(， )，點D的坐標為（0，1）．

（1）求直線AD的解析式；

（2）直線AD與x 軸交于點B，若點E是直線AD上一動點（不與點B重合），當△BOD與△BCE相似時，求點E的坐標．

Answer 1

【答案】（1）求直線AD的解析式y=x+1；（2）點E的坐標(2，2)或(3， )．

【解析】試題分析：

(1) 利用點A和點D的坐標，結合一次函數的一般形式，通過待定系數法獲得關于待定系數的方程，求解這些方程進而可以寫出直線AD的解析式.

(2) 根據題意和相似三角形的相關知識可知，本小題應按∠BOD=∠BEC=90°和∠BOD=∠BCE=90°分為兩種情況進行討論. 在第一種情況下，可以過點E作x軸的垂線EF，利用相似三角形的關系，求得線段EC的長，進而在Rt△EFC中利用勾股定理和點E的坐標特征獲得相關的方程，求解這一方程即可獲得點E的坐標. 在第二種情況下，可以利用EC垂直于x軸的關系直接得到點E的橫坐標值，將點E的橫坐標代入直線AD的解析式即可得到點E的縱坐標值，進而寫出點E的坐標.

試題解析：

(1) 設直線AD的解析式為y=kx+b (k≠0).

將點A和點D的坐標分別代入直線AD的解析式，得

，

解之，得

，

∴直線AD的解析式為.

(2) 根據題意，分別對下面兩種情況進行討論.

①∠BOD=∠BEC=90°，即△BOD∽△BEC.

如圖①，過點E作EF⊥BC，垂足為F.

設點E的坐標為(m, n).

∵點E在直線AD上，

∴.

∴點E的坐標為(m, ).

∴OF=m，EF=.

∵直線y=-x+3與x軸交于點C，

又∵當y=0時，-x+3=0，即x=3，

∴點C的坐標為(3, 0)，

∴OC=3.

同理，點B的坐標為(-2, 0).

∴OB=2.

∴BC=OB+OC=2+3=5.

∵點D的坐標為(0, 1)，

∴OD=1.

∴在Rt△BOD中， .

∵△BOD∽△BEC，

∴.

∴.

∵OF=m，EF=.

∴FC=OC-OF=3-m.

∵在Rt△EFC中，EC2=EF2+FC2，

∴，

∴m=2.

∴.

∴點E的坐標為(2, 2).

②∠BOD=∠BCE=90°，即△BOD∽△BCE.

設點E的坐標為(m, n).

∵∠BCE=90°，OC=3，

∴m=3.

∵點E在直線AD上，

∴當m=3時， .

∴點E的坐標為(3, ).

綜上所述，點E的坐標為(2, 2)或(3, ).