Question

【題目】如圖，點O是等邊△ABC內一點，D是△ABC外的一點，∠AOB＝110°，∠BOC＝，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，連接OD．

（1）求證：△OCD是等邊三角形；

（2）當α＝150°時，試求證：△AOD是直角三角形；

（3）△AOD能否為等邊三角形？為什么？

（4）探究：當α為多少度時，△AOD是等腰三角形．（直接寫出答案）

Answer 1

【答案】(1)見解析；
(2)△AOD是Rt△.理由見解析；
(3)不能.理由：見解析；
(4)當α=110°或125°或140°時，△AOD是等腰三角形.

【解析】

（1）根據全等三角形的性質得到OC=DC，根據等邊三角形的判定定理證明即可；
（2）根據全等三角形的性質得到∠ADC=∠BOC=∠α=150°，結合圖形計算即可；
（3）用反證法，假設△AOD能否為等邊三角形，根據題意證明∠AOC+∠AOB+∠BOC不等于360°，推出矛盾；
（4）分∠AOD=∠ADO、∠AOD=∠OAD、∠ADO=∠OAD三種情況，根據等腰三角形的判定定理計算即可．

(1)證明：∵△BOC≌△ADC，
∴OC=DC.
∵∠OCD=60°，
∴△OCD是等邊三角形；
(2)△AOD是Rt△.
理由如下：
∵△OCD是等邊三角形，
∴∠ODC=60°，
∵△BOC≌△ADC,∠α=150°，
∴∠ADC=∠BOC=∠α=150°，
∴∠ADO=∠ADC∠ODC=150°60°=90°，
∴△AOD是Rt△；
(3)不能.理由：
由△BOC≌△ADC，得∠ADC=∠BOC=∠α.
若△AOD為等邊三角形，
則∠ADO=60°，
又∵∠ODC=60°，
∴∠ADC=∠α=120°.
又∵∠AOD=∠DOC=60°，
∴∠AOC=120°，
又∵∠AOB=110°，
∴∠AOC+∠AOB+∠BOC=120°+120°+110°=350°<360°.
∴△AOD不可能為等邊三角形；
(4)∵△OCD是等邊三角形，
∴∠COD=∠ODC=60°.
∵∠AOB=110°，∠ADC=∠BOC=α，
∴∠AOD=360°∠AOB∠BOC∠COD=360°110°α60°=190°α，
∠ADO=∠ADC∠ODC=α60°，
∴∠OAD=180°∠AOD∠ADO=180°(190°α)(α60°)=50°.
①當∠AOD=∠ADO時,190°α=α60°,∴α=125°.
②當∠AOD=∠OAD時,190°α=50°,∴α=140°.
③當∠ADO=∠OAD時,α60°=50°,∴α=110°.
綜上所述：當α=110°或125°或140°時，△AOD是等腰三角形.