Question

【題目】如圖1，Rt△ABC和Rt△DBE中，∠ABC＝∠EBD＝90°，AB＝BC，DB＝EB.顯然可得結論AD＝EC，AD⊥EC.

(1)閱讀：當Rt△DBE繞點B逆時針旋轉到圖2的位置時，連接AD，CE.求證：AD＝EC，AD⊥EC.

下面給出了小亮的證明過程，請你把小亮的證明過程填寫完整：

∵∠ABC＝∠EBD，∴∠ABC－∠ABE＝∠EBD－∠ABE，即∠EBC＝∠DBA.在△EBC和△DBA中，

BC＝BA，∠______=∠______，BE＝BD，

∴△EBC≌△DBA，∴CE＝AD，∠ECB＝∠______.

∵∠ECB＋∠ACE＋∠CAB＝90°，∴∠DAB＋∠ACE＋∠CAB＝90°，∴∠______＝90°，∴AD⊥EC.

(2)類比：當Rt△DBE繞點B逆時針旋轉90°得到圖3時，連接AD，CE.問(1)中線段AD，EC間的數量關系和位置關系還成立嗎？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；

(3)拓展：當Rt△DBE繞點B逆時針旋轉到圖4時，連接AD，CE.請說明AD，EC間的數量關系和位置關系．

Answer 1

【答案】 （1）EBC DBA DAB AKC

（2）成立，理由見解析；（3）AD=EC，AD⊥EC.

【解析】（1）根據證明過程直接填空即可；

（2）先證△ADB與△CBE全等，得出CE=AD，和∠ECB=∠DAB，延長CE交AD于點F，由于∠DAB與∠ADB互余，從而∠ECB也與∠ADB互余，從而得征；

（3）方法與（2）相同；

（1）∵∠ABC=∠EBD，

∴∠ABC﹣∠ABE=∠EBD﹣∠ABE即∠EBC=∠DBA，

在△EBC和△DBA中，，

∴△EBC≌△DBA，∴AD=EC，∠ECB=∠DAB．

∵∠ECB+∠ACE+∠CAB=90°，

∴∠DAB+∠ACE+∠CAB=90°，

∴∠AKC=90°，∴AD⊥EC．

（2）成立．理由如下：

如圖3，延長CE交AD于F．

在△EBC和△DBA中，，

∴△EBC≌△DBA，∴AD=EC，∠ECB=∠DAB．

∵∠DAB+∠ADB=90°，∴∠ECB+∠ADB=90°，∴AD⊥EC；

（3）AD＝EC，AD⊥EC．理由如下：

如圖4，設CE、AD交于點F，

∵∠DBE=∠ABC=90°，∴∠CBE=∠ABD．

在△EBC和△DBA中，，

∴△EBC≌△DBA，∴AD=EC，∠CEB=∠ADB．

∵∠ADB+∠DFB=90°，∴∠CEB+∠AFE=90°，∴AD⊥EC．