Question

【題目】已知二次函數y=-x 2 +2mx-m 2+4

(1)當m=1時，拋物線的對稱軸和頂點坐標:

(2)求證:不論m取何值時該二次函數的圖像與x軸必有兩個不同交點

(3)若該二次函數的圖像與x軸交于點A， B(點Ａ在點Ｂ的左側)，頂點為C，則這時△ＡBC的面積為　　　　　

Answer 1

【答案】（1）對稱軸為x=1，頂點坐標為(1，4)；（2）證明見解析；（3）8.

【解析】

（1）把m=1代入到二次函數解析式中，用配方法整理成頂點式，即可得到其對稱軸和頂點坐標；

（2）應用根的判別式即可證明；

（3）令y=0，求出A、B橫坐標，用m表示頂點C坐標，求△ABC面積.

（1）把m=1代入到y=-x 2 +2mx-m 2+4中，

得y=-x 2 +2x+3=-(x-1)2+4，

所以對稱軸為x=1，頂點坐標為(1，4)；

（2）當y=0時，-x2+2mx-m2+4=0，

∵b2-4ac=4m2-4×（-1）×（-m2+4）=16＞0，

∴此一元二次方程有兩個不相等的實數根，

∴該二次函數的圖象與x軸必有兩個不同交點；

（3）當y=0時，-x2+2mx-m2+4=0，

解得：x1=m+2，x2=m-2，

∵點A在點B的左側，

∴點A、B橫坐標分別為m-2，m+2，

∴AB=4，

配方得y=-x2+2mx-m2+4=-（x-m）2+4，

∴拋物線頂點為（m，4）

∴S△ABC=×4×4=8，

故答案為：8.