Question

（1）如圖1，E，F分別是?ABCD的對角線AC上的兩點，且CE=AF，求證：BE=DF
（2）如圖2，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂為點E．K為

AC

上一動點，AK、DC的延長線相交于點F，連接CK、KD．
①求證：∠AKD=∠CKF；
②若AB=10，CD=6，求tan∠CKF的值．

Answer 1

分析：（1）根據平行四邊形性質得出AB=CD，AB∥CD，推出∠BAE=∠DCF，AE=CF，根據全等三角形的判定推出即可；
（2）①求出∠CKF=∠ADC，根據垂徑定理求出∠AKD=∠ADC，即可得出答案；②求出OE，求出AE，求出∠ADE的正切，即可得出答案．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠BAE=∠DCF，
∵CE=AF，
∴CE-EF=AF-EF，
∴AE=CF，
在△ABE和△DCF中，

AB=DC ∠ABE=∠DCF AE=CF

，
∴△ABE≌△DCF（SAS）．

（2）①證明：連接AD，
∵∠CKF是圓內接四邊形ADCK的外角，
∴∠CKF=∠ADC．
∵AB為⊙的直徑，弦CD⊥AB，
∴弧AD=弧AC，
∴∠ADC=∠AKD，
∴∠AKD=∠CKF．

（2）解：連接OD．
∵AB為⊙的直徑，AB=10，
∴OD=5，
∵弦CD⊥AB，CD=6，
∴DE=3，
在Rt△ODE中，OD=5，DE=3，由勾股定理得：OE=

52-32

=4，
∴AE=5+4=9，
在Rt△ADE中，tan∠CKF=tan∠ADE=

AE

DE

=

9

3

=3．

點評：本題考查了平行四邊形性質，全等三角形的判定，圓內接四邊形性質，垂徑定理，勾股定理，銳角三角函數值等知識點的應用，主要考查學生的推理能力．