Question

已知∠AOB與∠COD互余（∠COD的兩邊不在∠AOB的內部），OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，將∠COD繞著點O逆時針旋轉，使∠BOC=α（0°≤α＜180°）．
（1）若∠AOB=60°，∠COD=30°．
①當α=0°時，即OB與OC重合時，如圖1，則∠MON=

45°

．
②當α=90°時，即OA與OD在一條直線上，如圖2，求∠MON的度數．
③當α=140°時，請補全圖形（如圖3），并求出∠MON的度數．
（2）若∠AOB=β，∠COD=γ（β＞γ），則∠MON=

45°或135°

．

Answer 1

分析：（1）先根據角平分線的定義得出∠MOB=

1

2

∠AOB，∠BON=

1

2

∠BOD，再根據∠MON=∠MOB+∠BON即可求解；
（2）由特殊到一般可求∠MON的度數即可．

解答：解：（1）①∠MON=

1

2

∠AOC+

1

2

∠BOD=45°．
②當α=90°時，
∠MON=180°-（

1

2

∠AOC+

1

2

∠BOD）
=180°-[

1

2

（∠AOB+∠BOC）+

1

2

（∠COD+∠BOC）]
=180°-[

1

2

（60°+90°）+

1

2

（30°+90°）]
=45°．
③當α=140°時，
∵∠AOD=360°-60°-30°-140°=130°，
∴∠MON=

1

2

∠AOC+

1

2

∠BOD-∠COD
=

1

2

（∠AOD+∠DOC）+

1

2

（∠BOC+∠COD）-∠COD
=

1

2

（∠AOD+∠BOC）
=

1

2

（360°-90°）
=135°；

（2）當∠AOB=β，∠COD=γ（β＞γ）時，∠AOB與∠COD互余，則β+γ=90°，
當如圖1所示：∠MON=

1

2

∠AOC+

1

2

∠BOD=

1

2

（β+γ）=45°，
如圖3所示：
∠MON=

1

2

∠AOC+

1

2

∠BOD-∠COD
=

1

2

（∠AOD+∠DOC）+

1

2

（∠BOC+∠COD）-∠COD
=

1

2

（∠AOD+∠BOC）
=

1

2

（360°-∠AOB-∠COD）
=

1

2

（360°-90°）
=135°，
則∠MON=135°或45°．
故答案為：135°或45°．

點評：本題主要考查了學生在學習過程中對角度關系及運算的靈活運用和掌握．此類題目的練習有利于學生更好的對角的理解．