Question

在等腰梯形ABCD中，AB=DC=5，AD=4，BC=10．點E在下底邊BC上，點F在腰AB上．
（1）若EF平分等腰梯形ABCD的周長，設BE長為x，試用含x的代數式表示△BEF的面積；
（2）是否存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長和面積同時平分？若存在，求出此時BE的長；若不存在，請說明理由；
（3）是否存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長和面積同時分成1：2的兩部分？若存在，求出此時BE的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先作AK⊥BC于K，FG⊥BC于G，根據等腰梯形的性質，可得BK=（BC-AD）=3，在Rt△ABK中，利用勾股定理可求出AK=4，由于AK、FG垂直于同一直線故平行，可得比例線段，求出FG=，利用面積公式可得S_△BEF=-x²+x（7≤x≤10，因為BF最大取5，故BE最小取7，又不能超過10）；
（2）根據題意，結合（1）中面積的表達式，可以得到S_梯形ABCD=-x²+x，即14=-x²+x，解得，x₁=7，x₂=5（不合題意，舍去）；
（3）仍然按照（1）和（2）的步驟和方法去做就可以了，注意不是分成相等的兩份，而是1：2就可以了，得到關于x的一元二次方程，先求出根的判別式△，由于△＜0，故不存在實數根．
解答：解：（1）由已知條件得：
梯形周長為24，高4，面積為28．
過點F作FG⊥BC于G
∴BK=（BC-AD）=×（10-4）=3，
∴AK==4，
∵EF平分等腰梯形ABCD的周長，設BE長為x，
∴BF=12-x，
過點A作AK⊥BC于K
∴△BFG∽△BAK，
∴，
即：，
則可得：FG=×4
∴S_△BEF=BE•FG=-x²+x（7≤x≤10）；（3分）

（2）存在（1分）
由（1）得：-x²+x=14，
x²-12x+35=0，
（x-7）（x-5）=0，
解得x₁=7，x₂=5（不合題意舍去）
∴存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長與面積同時平分，此時BE=7；

（3）不存在（1分）
假設存在，第一種情況：顯然是：S_△BEF：S_AFECD=1：2，（BE+BF）：（AF+AD+DC+CE）=1：2（1分），
梯形ABCD周長的三分之一為=8，面積的三分之一為．因為BE=X，
所以BF=（8-X）
∵FM∥AH，
∴△FBM∽△ABH，
∴BF：AB=FM：AH，
∴=，
∴FM=，
∴△BEF的面積=，
當 _{梯形ABCD的面積}=時，
∴=，
整理方程得：-3x²+24x-70=0，
△=576-840＜0
∴不存在這樣的實數x．
即不存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長和面積．
同時分成1：2的兩部分．（2分）
第二種情況：顯然是：S_△BEF：S_AFECD=2：1，（BE+BF）：（AF+AD+DC+CE）=2：1（1分），
梯形ABCD周長的三分之一為=8，面積的三分之一為．因為BE=x，
所以BF=（8-x）
∵FM∥AH，
∴△FBM∽△ABH，
∴BF：AB=FM：AH，
∴，
∴FM=，
∴△BEF的面積=，
當 _{梯形ABCD的面積}=時，
∴=，
整理方程得：3x²-24x+140=0，
△＜0
∴不存在這樣的實數x．
即不存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長和面積．
同時分成1：2的兩部分．
點評：本題利用了等腰梯形的性質、垂直于同一直線的兩直線平行，勾股定理，三角形、梯形面積公式，解一元二次方程，以及一元二次方程根的判別式等知識．