Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2﹣2x+3的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C，點D為拋物線的頂點．

（1）求點A、B、C的坐標；
（2）點M（m，0）為線段AB上一點（點M不與點A、B重合），過點M作x軸的垂線，與直線AC交于點E，與拋物線交于點P，過點P作PQ∥AB交拋物線于點Q，過點Q作QN⊥x軸于點N，可得矩形PQNM．如圖，點P在點Q左邊，試用含m的式子表示矩形PQNM的周長；
（3）當矩形PQNM的周長最大時，m的值是多少？并求出此時的△AEM的面積；
（4）在（3）的條件下，當矩形PMNQ的周長最大時，連接DQ，過拋物線上一點F作y軸的平行線，與直線AC交于點G（點G在點F的上方）．若FG= DQ，求點F的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：由拋物線 可知，C（0，3），
令y=0，則 ，
解得x=﹣3或x=1，
∴A（﹣3，0），B（1，0）；
（2）解：由拋物線 可知，對稱軸為x=﹣1，
設M點的橫坐標為m，
則PM= ，MN=（﹣m﹣1）×2=﹣2m﹣2，
∴矩形PMNQ的周長=2（PM+MN）=（ ）×2= =
∴當m=﹣2時矩形的周長最大．
（3）解：∵矩形PMNQ的周長=2（PM+MN）=（ ）×2= = ∴當m=﹣2時矩形的周長最大．
∵A（﹣3，0），C（0，3），設直線AC解析式為y=kx+b，解得k=1，b=3，∴解析式y=x+3，當x=﹣2時，則E（﹣2，1），∴EM=1，AM=1，∴S= AMEM=
（4）解：∵M點的橫坐標為﹣2，拋物線的對稱軸為x=﹣1，∴N應與原點重合，Q點與C點重合，∴DQ=DC，把x=﹣1代入 ，解得y=4，∴D（﹣1，4），∴DQ=DC= ，∵FG= DQ，∴FG=4，設F（n， ），則G（n，n+3），∵點G在點F的上方，∴ =4，解得：n=﹣4或n=1，∴F（﹣4，﹣5）或（1，0）．
【解析】（1）利用函數圖象與坐標軸的交點的求法，建立方程求出點A，B，C的坐標。
（2）先確定出拋物線對稱軸，設M點的橫坐標為m，用含m表示出PM，MN，再根據矩形PMNQ的周長=2（PM+MN），建立函數解析式，根據二次函數的性質即可得出結果。
（3）由（2）得到的結論判斷出矩形周長最大時，確定出m，進而求出直線AC解析式，即可求出出此時的△AEM的面積；
（4）在（3）的基礎上，判斷出N應與原點重合，Q點與C點重合，求出DQ=DC=，求出FG的長，設點F的坐標及點G的坐標，根據FG的長=4，建立方程，解方程求出n的值，就可求出點F的坐標。