Question

【題目】（1）探索發現

如圖①，在中，，，，點分別是的中點，連接，則的值為　　　　．

（2）拓展探索

若將繞點逆時針方向旋轉一周，在旋轉過程中的值有沒有變化？以圖②的情形給出證明．

（3）問題解決

如圖③，當旋轉到三點在同一條直線上是，直接寫出的長．

Answer 1

【答案】（1）；（2）沒有變化，理由見解析；（3）或．

【解析】

（1）連接AE，根據等腰三角形的性質可得∠AEB=90°，再運用銳角三角函數解直角三角形求得AC，進而求得AD和BE，最后代入即可求解；

（2）先說明△ACD∽△BCE，再運用相似三角形的性質解答即可；

（3）分點D在線段AE上和AE的延長線上兩種情況，分別利用含30度角的直角三角形的性質和勾股定理以及線段的和差求解即可．

解：（1）如圖：連接AE

∵，BE=EC=，

∴AE⊥BC，∠ACB=∠DCE=30°

∵

∴cos∠ACB =cos30°=,即

∴AB=AC=2

∴AD=CD=AC=1

∴

故答案為；

（2）沒有變化，理由如下：

∵CD=1，CE=BE=，AB=AC=2，

∴

∴

∵∠ACB=∠DCE=30°

∴∠ACD=∠BCE

∴△ACD∽△BCE

∴；

（3）①當點D在線段AE上時，如圖2，過點C作CF⊥AE于F，∠CDF=180°-∠CDE=60°

∴∠DCF=30°

∴DF=CD=

∴

在Rt△AFC中，AC=2，由勾股定理得：

∴

∵

∴；

②當點D在線段AE的延長線上時

如圖3，過點C作CG⊥AD交AD的延長線于G，

∵∠CDG=60°

∴∠DCG=30°

∴

∴

在Rt△ACG中，根據勾股定理得，AG=

∴

∵

∴；

∴線段BE的長為或．