Question

【題目】如圖，點M是正方形ABCD邊CD上一點，連接AM，作DE⊥AM于點E，BF⊥AM于點F，連接BE．

（1）求證：AE＝BF；

（2）已知AF＝2，四邊形ABED的面積為24，求EF：BF的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）根據正方形的性質得到BA＝AD，∠BAD＝90°，再根據DE⊥AM于點E，BF⊥AM于點F，等量代換得到∠ABF＝∠DAE，即可證明△ABF≌△DAE（AAS），利用全等三角形的性質即可得到AE＝BF；

（2）設AE＝x，則BF＝x，DE＝AF＝2，根據四邊形ABED的面積為24，列出方程即可解答．

（1）證明：∵四邊形ABCD為正方形，

∴BA＝AD，∠BAD＝90°，

∵DE⊥AM于點E，BF⊥AM于點F，

∴∠AFB＝90°，∠DEA＝90°，

∵∠ABF＋∠BAF＝90°，∠EAD＋∠BAF＝90°，

∴∠ABF＝∠DAE，

在△ABF和△DAE中

∠BFA＝∠DEA，∠ABF＝∠EAD，AB＝DA，

∴△ABF≌△DAE（AAS），

∴BF＝AE；

（2）設AE＝x，則BF＝x，DE＝AF＝2，

∵四邊形ABED的面積為24，

∴S四邊形ABED=S△ABE+S△ADE，

即xx＋x2＝24，

解得x1＝6，x2＝8（舍去），

∴EF＝x2＝4，BF=6

∴