Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中， AB=AC=10，線段BC在軸上，BC=12，點B的坐標為（－3，0），線段AB交軸于點E，過A作AD⊥BC于D，動點P從原點出發，以每秒3個單位的速度沿軸向右運動，設運動的時間為秒．

（1）當△BPE是等腰三角形時，求的值；

（2）若點P運動的同時，△ABC以B為位似中心向右放大，且點C向右運動的速度為每秒2個單位，△ABC放大的同時高AD也隨之放大，當以EP為直徑的圓與動線段AD所在直線相切時，求的值和此時點C的坐標．

Answer 1

【答案】（1）t=或t=1或t=；（2）當t=1時⊙F與動線段AD所在直線相切，此時C（11，0）．

【解析】

（1）首先求出直線AB的解析式，進而分別利用①當BE＝BP時，②當EB＝EP時，③當PB＝PE時，得出t的值即可；

（2）首先得出△PGF∽△POE，再利用在Rt△EOP中：EP2＝OP2＋EO2，進而求出t的值以及C點坐標．

（1）∵AB=AC，AD⊥BC，

∴BD=CD=6，

∵AB=10，∴AD=8，∴A（3，8），

設直線AB的解析式為：y=kx+b，則，

解得：，

∴直線AB的解析式為：y=x+4，

∴E（0，4），

∴BE=5，

當△BPE是等腰三角形有三種情況：

①當BE=BP時，3+3t=5，解得：t=；

②當EB=EP時，3t=3，解得：t=1；

③當PB=PE時，

∵PB=PE，AB=AC，∠ABC=∠PBE，

∴∠PEB=∠ACB=∠ABC，

∴△PBE∽△ABC，

∴，

∴，解得：t=，

綜上：t=或t=1或t=；

（2）由題意得：C（9+2t，0），

∴BC=12+2t，BD=CD=6+t，OD=3+t，

設F為EP的中點，連接OF，作FH⊥AD，FG⊥OP，

∵FG∥EO，

∴△PGF∽△POE，

∴PG=OG=t，FG=EO=2，∴F（t，2），

∴FH=GD=OD﹣OG=3+t﹣t=3﹣t，

∵⊙F與動線段AD所在直線相切，FH=EP=3﹣t，

在Rt△EOP中：EP2=OP2+EO2

∴4（3﹣t）2=（3t）2+16

解得：t1=1，t2=﹣（舍去），

∴當t=1時⊙F與動線段AD所在直線相切，此時C（11，0）．