Question

（2012•樂山模擬）在銳角△ABC中，AB=AC，∠A使關于x的方程

1

4

x²-sinA•x+

3

sinA-

3

4

=0有兩個相等的實數根．
（1）判斷△ABC的形狀；
（2）設D為BC上的一點，且DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若DE=m，DF=n，且3m=4n和m²+n²=25，求AB的長．

Answer 1

分析：（1）利用根的判別式求出sinA=

3

2

，進而得出∠A=60°，再利用AB=AC，求出△ABC的形狀．
（2）根據題意可得出∠BDE=∠CDF=30°，再由銳角三角函數關系可得出BD，CD，從而求出BC進而得出AB的長．

解答：解：（1）∵關于x的方程

1

4

x²-sinA•x+

3

sinA-

3

4

=0有兩個相等的實數根，
∴b²-4ac=sin²A-4×

1

4

（

3

sinA-

3

4

）=0，
則（sinA-

3

2

）²=0，
故sinA-

3

2

=0，
即sinA=

3

2

，
解得：∠A=60°，
又∵AB=AC，
∴△ABC的形狀為等邊三角形；

（2）解：∵△ABC為等邊三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴∠BED=∠CFD=90°，∴∠EDB=∠FDC=30°，
∵DE=m，DF=n，且3m=4n和m²+n²=25，
∴m=

4n

3

，
∴（

4n

3

）²+n²=25，
解得：n=3，則m=4，
∴DE=4，DF=3，
∵cos30°=

ED

BD

，
∴BD=

ED

cos30°

=

4

3 2

=

8 3

3

，
∵cos30°=

DF

DC

，
∴CD=

DF

cos30°

=2

3

，
∴BC=

8 3

3

+2

3

=

14 3

3

，
則AB的長為

14

3

3

．

點評：此題考查了等邊三角形的性質與判定以及一元二次方程根的判別式、銳角三角函數關系等知識，解題的關鍵是求出BD，CD的長．