Question

（2012•樂山模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，兩直角邊AC、BC的長恰是方程x²-4x+2=0的兩個不同的根，則Rt△ABC的斜邊上的高線CD的長為（　　）

• A．

  3

  3

• B．

  3

  2

• C．

  3

• D．2

  3

Answer 1

分析：先利用根與系數的關系得到AC+BC=4和AC•BC=2，再把AC+BC=4兩邊平方，得到AC²+BC²的值，由勾股定理可得AB²=AC²+BC²，從而求出斜邊AB的值，又因為S_△ABC=

1

2

AC•BC=

1

2

AB×CD，所以把已知數據代入可求出CD的長．

解答：解：∵兩直角邊AC、BC的長恰是方程x²-4x+2=0的兩個不同的根，
∴AC+BC=-

b

a

=4，AC•BC=

c

a

=2，
∴（AC+BC）²=16，
∴AC²+BC²+2AC•BC=16，
∴AC²+BC²=16-2AC•BC=12，
∵∠C=90°，
∴AB²=AC²+BC²=12，
∴AB=

12

=2

3

，
∵S_△ABC=

1

2

AC•BC=

1

2

AB×CD，
∴

1

2

×2=

1

2

×2

3

×CD，
∴CD=

3

3

．
故選A．

點評：本題考查了根與系數的關系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根時，x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

和勾股定理以及三角形的面積公式的應用．