Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，AC、DC為弦，∠ACD=60°，P為AB延長線上的點，∠APD=30°．

（1）求證：DP是⊙O的切線；

（2）若⊙O的半徑為3cm，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】解：（1）證明：連接OD，

∵∠ACD=60°，

∴由圓周角定理得：∠AOD=2∠ACD=120°。

∴∠DOP=180°﹣120°=60°。

∵∠APD=30°，∴∠ODP=180°﹣30°﹣60°=90°。

∴OD⊥DP。

∵OD為半徑，∴DP是⊙O切線。

（2）∵∠ODP=90°，∠P=30°，OD=3cm，

∴OP=6cm，由勾股定理得：DP=3cm。

∴圖中陰影部分的面積。

【解析】（1）連接OD，求出∠AOD，求出∠DOB，求出∠ODP，根據切線判定推出即可。

（2）求出OP、DP長，分別求出扇形DOB和△ODP面積，即可求出答案。