Question

【題目】在四邊形 ABCD 中,BC=CD,連接 AC、BD,∠ADB=90°.

(1)如圖 1,若 AD=BD=BC,過點 D 作 DF⊥AB 于點 F,交 AC 于點 E:

①求∠DAC；

②猜想 AE、DE、CE 的數量關系,并證明你的猜想；

(2)如圖 2,若 AC=BD,求∠DAC 的度數.

Answer 1

【答案】（1）①，②，證明見解析；（2）

【解析】

（1）①只要證明DA=DC，∠ADC=150°即可解決問題；

②結論：EC=ED+EA．如圖1中，設AC交BD于點O，連接BE，在EC上截取EH=EB．由△EBD≌△HBC（SAS），推出DE=CH，可得EC=EH+CH=EB+ED=EA+ED解決問題；

（2）如圖2中，作CK⊥BD于K，CH⊥AD交AD的延長線于H．首先證明四邊形DHCK是矩形，再證明CH=AC，即可解決問題；

（1）①如圖1中，

∵AD=BD=BC，BC=CD，

∴BD=BC=CD，

∴△BDC是等邊三角形，

∴∠CDB=60°，

∵∠ADB=90°，

∴∠ADC=90°+60°=150°，

∵DA=DC，

∴∠DAC=∠DCA=15°，

②結論：EC=ED+EA．如圖1中，設AC交BD于點O，連接BE，在EC上截取EH=EB．

∵DA=DB，DF⊥AB，

∴AF=FB，

∴EA=EB，

∴∠DAF=∠DBF，∠EAB=∠EBA，

∴∠DAE=∠DBE，

∵∠DAE=∠DCO，

∴∠DCO=∠OBE，

∵∠DOC=∠EOB，

∴∠BEO=∠ODC=60°，

∵EH=EB，

∴△EBH是等邊三角形，

∴∠EBH=∠DBC=60°，BE=BH，

∴∠EBD=∠HBC，∵BD=BC，

∴△EBD≌△HBC（SAS），

∴DE=CH，

∴EC=EH+CH=EB+ED=EA+ED．

（3）如圖2中，作CK⊥BD于K，CH⊥AD交AD的延長線于H．

∵∠H=∠CKD=∠HDK=90°，

∴四邊形DHCK是矩形，

∴DK=CH，

∵CD=CB．CK⊥BD，

∴DK=BD，

∵AC=BD，

∴CH=AC，

在Rt△ACH中，sin∠CAD=，

∴∠CAD=30°．