Question

（2009•江蘇模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=50，AC=30，D、E、F分別是AC、AB、BC的中點．點P從點D出發沿折線DE-EF-FC-CD以每秒7個單位長的速度勻速運動；點Q從點B出發沿BA方向以每秒4個單位長的速度勻速運動，點P、Q同時出發，當點Q運動到點A時停止，點P也隨之停止．設點P、Q運動的時間是t秒（t＞0）．
（1）D、F兩點間的距離等于

25

；
（2）以點D為圓心，DC長為半徑作圓交DE于M，能否在弧CM上找一點N，使直線QN切⊙D于N，且四邊形CDEF分成面積相等的兩部分？若能，求出t的值．若不能，說明理由；
（3）作射線QK⊥AB，交折線BC-CA于點G，當t為何值時，點P恰好落在射線QK上；
（4）連接PG，當PG∥AB時，直接寫出t的值．

Answer 1

分析：（1）由中位線定理即可求出DF的長；
（2）連接DF，過點F作FH⊥AB于點H，由四邊形CDEF為矩形，QK把矩形CDEF分為面積相等的兩部分，根據△HBF∽△CBA，對應邊的比相等，就可以求得t的值；
（3）①當點P在EF上（2

6

7

≤t≤5時根據△PQE∽△BCA，根據相似三角形的對應邊的比相等，可以求出t的值；
②當點P在FC上（5≤t≤7

6

7

）時，PB+PF=BF就可以得到；
（4）當PG∥AB時四邊形PHQG是矩形，由此可以直接寫出t．

解答：解：（1）Rt△ABC中，∠C=90°，AB=50，
∵D，F是AC，BC的中點，
∴DE∥BC，EF∥AC，∴DF=

1

2

AB=25

（2）能．
如圖1，連接DF，過點F作FH⊥AB于點H，
∵D，F是AC，BC的中點，
∴DE∥BC，EF∥AC，四邊形CDEF為矩形，
∴QK過DF的中點O時，QK把矩形CDEF分為面積相等的兩部分
（注：可利用全等三角形借助割補法或用中心對稱等方法說明），
此時QH=OF=12.5．由BF=20，△HBF∽△CBA，得HB=16．
故t=

12.5+16

4

=7

1

8

．

（3）①當點P在EF上（2

6

7

≤t≤5）時，
如圖2，QB=4t，DE+EP=7t，
由△PQE∽△BCA，得

7t-20

50

=

25-4t

30

．
∴t=4

21

41

；
②當點P在FC上（5≤t≤7

6

7

）時，
如圖3，已知QB=4t，從而PB=5t，
由PF=7t-35，BF=20，得5t=7t-35+20．
解得t=7

1

2

；

（4）如圖4，t=1

2

3

；如圖5，t=7

39

43

．
（注：判斷PG∥AB可分為以下幾種情形：
當0＜t≤2

6

7

時，點P下行，點G上行，可知其中存在PG∥AB的時刻，
如圖4；此后，點G繼續上行到點F時，t=4，而點P卻在下行到點E再沿EF上行，發現點P在EF上運動時不存在PG∥AB；
當5≤t≤7

6

7

時，點P，G均在FC上，也不存在，
PG∥AB；由于點P比點G先到達點C并繼續沿CD下行，所以在7

6

7

＜t＜8中存在PG∥AB的時刻，
如圖5，當8≤t≤10時，點P，G均在CD上，不存在PG∥AB）．

點評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質，運用了相似三角形性質，對應邊的比相等，正確找出題目中的相似三角形是解題的關鍵．