Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，9），與y軸交于點(diǎn)A（0，5），與x軸交于點(diǎn)E，B．

（1）求二次函數(shù)y=ax2+bx+c的解析式；

（2）過點(diǎn)A作AC平行于x軸，交拋物線于點(diǎn)C，點(diǎn)P為拋物線上的一點(diǎn)（點(diǎn)P在AC上方），作PD平行于y軸交AB于點(diǎn)D，問當(dāng)點(diǎn)P在何位置時(shí)，四邊形APCD的面積最大？并求出最大面積．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+4x+5（2）點(diǎn)P（， ）時(shí)，S四邊形APCD最大=

【解析】（1）利用頂點(diǎn)式即可求出二次函數(shù)解析式；

（2）先求出直線AB的解析式，設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo)（x，-x2+4x+5），建立函數(shù)關(guān)系式S四邊形APCD=×AC×PD＝2(-x2+5x)=-2x2＋10x，根據(jù)二次函數(shù)求出極值即可.

解：（1）設(shè)拋物線解析式為y=a（x﹣2）2+9，

∵拋物線與y軸交于點(diǎn)A（0，5），

∴4a+9=5，

∴a=﹣1，

y=﹣（x﹣2）2+9=﹣x2+4x+5，

（2）當(dāng)y=0時(shí)，﹣x2+4x+5=0，

∴x1=﹣1，x2=5，

∴E（﹣1，0），B（5，0），

設(shè)直線AB的解析式為y=mx+n，

∵A（0，5），B（5，0），

∴m=﹣1，n=5，

∴直線AB的解析式為y=﹣x+5；

設(shè)P（x，﹣x2+4x+5），

∴D（x，﹣x+5），

∴PD=﹣x2+4x+5+x﹣5=﹣x2+5x，

∵AC=4，

∴S四邊形APCD=×AC×PD=2（﹣x2+5x）=﹣2x2+10x=﹣（x﹣）2+，

∵﹣1＜0

∴當(dāng)x=時(shí)，

∴即：點(diǎn)P（， ）時(shí)，S四邊形APCD最大=．