Question

如圖，已知二次函數y=

1

2

x²+bx+c的圖象與x軸只有一個公共點M，與y軸的交點為A，過點A的直線y=x+c與x軸交于點N，與這個二次函數的圖象交于點B．
（1）求點A、B的坐標（用含b、c的式子表示）；
（2）當S_△BMN=4S_△AMN時，求二次函數的解析式；
（3）在（2）的條件下，設點P為x軸上的一個動點，那么是否存在這樣的點P，使得以P、A、M為頂點的三角形為等腰三角形？若存在，請寫出符合條件的所有點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）

y= 1 2 x2+bx+c(1) y=x+c(2)

x₁=0，x₂=2-2b
當x₁=0時，y₁=c即A（0，c）
當x₂=2-2b時，y₂=2-2b+c
即B（2-2b，2-2b+c）；

（2）2-2b-3c=0，△=0
得b²-2c=0，
聯立③，④得
（6+2）（36-2）=0
∴b₁=-2，b₂=

2

3

-

b

2a

＞0，而a=

1

2

＞0．
∴b＜0．
∴b=-2
當b=-2時，代入④得c=2
∴所求二次函數的解析式為：y=

1

2

x²-2x+2；

（3）存在符合條件的點P
P_l（2+2

2

，0），P₂（0，0），P₃（2-2

2

，0），P₄（-2，0）．