Question

【題目】已知拋物線y＝(x－m)2－(x－m)，其中m是常數．

(1)求證：不論m為何值，該拋物線與x軸一定有兩個公共點；

(2)若該拋物線的對稱軸為直線x＝.

①求該拋物線的函數解析式；

②把該拋物線沿y軸向上平移多少個單位長度后，得到的拋物線與x軸只有一個公共點．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）①y＝x2－5x＋6②該拋物線沿y軸向上平移個單位長度后，得到的拋物線與x軸只有一個公共點

【解析】試題分析：（1）先把拋物線解析式化為一般式，再計算△的值，得到△=1＞0，于是根據△=b2-4ac決定拋物線與x軸的交點個數即可判斷不論m為何值，該拋物線與x軸一定有兩個公共點；

（2）①根據對稱軸方程得到=-，然后解出m的值即可得到拋物線解析式；

②根據拋物線的平移規律，設拋物線沿y軸向上平移k個單位長度后，得到的拋物線與x軸只有一個公共點，則平移后拋物線解析式為y=x2-5x+6+k，再利用拋物線與x軸的只有一個交點得到△=52-4（6+k）=0，然后解關于k的方程即可．

試題解析：（1）y=（x-m）2-（x-m）=x2-（2m+1）x+m2+m，

∵△=（2m+1）2-4（m2+m）=1＞0，

∴不論m為何值，該拋物線與x軸一定有兩個公共點；

（2）①∵x=-，

∴m=2，

∴拋物線解析式為y=x2-5x+6；

②設拋物線沿y軸向上平移k個單位長度后，得到的拋物線與x軸只有一個公共點，則平移后拋物線解析式為y=x2-5x+6+k，

∵拋物線y=x2-5x+6+k與x軸只有一個公共點，

∴△=52-4（6+k）=0，

∴k=，

即把該拋物線沿y軸向上平移個單位長度后，得到的拋物線與x軸只有一個公共點．