Question

【題目】（問題發現）

（1）如圖（1）四邊形ABCD中，若AB=AD，CB=CD，則線段BD，AC的位置關系為　 　；

（拓展探究）

（2）如圖（2）在Rt△ABC中，點F為斜邊BC的中點，分別以AB，AC為底邊，在Rt△ABC外部作等腰三角形ABD和等腰三角形ACE，連接FD，FE，分別交AB，AC于點M，N．試猜想四邊形FMAN的形狀，并說明理由；

（解決問題）

（3）如圖（3）在正方形ABCD中，AB=2，以點A為旋轉中心將正方形ABCD旋轉60°，得到正方形AB'C'D'，請直接寫出BD'平方的值．

Answer 1

【答案】（1）AC垂直平分BD；（2）四邊形FMAN是矩形，理由見解析；（3）16+8或16﹣8

【解析】

（1）依據點A在線段BD的垂直平分線上，點C在線段BD的垂直平分線上，即可得出AC垂直平分BD；

（2）根據Rt△ABC中，點F為斜邊BC的中點，可得AF=CF=BF，再根據等腰三角形ABD 和等腰三角形ACE，即可得到AD=DB，AE=CE，進而得出∠AMF=∠MAN=∠ANF=90°，即可判定四邊形AMFN是矩形；

（3）分兩種情況：①以點A為旋轉中心將正方形ABCD逆時針旋轉60°，②以點A為旋轉中心將正方形ABCD順時針旋轉60°，分別依據旋轉的性質以及勾股定理，即可得到結論．

（1）∵AB=AD，CB=CD，

∴點A在線段BD的垂直平分線上，點C在線段BD的垂直平分線上，

∴AC垂直平分BD，

故答案為：AC垂直平分BD；

（2）四邊形FMAN是矩形．理由：

如圖2，連接AF，

∵Rt△ABC中，點F為斜邊BC的中點，

∴AF=CF=BF，

又∵等腰三角形ABD 和等腰三角形ACE，

∴AD=DB，AE=CE，

∴由（1）可得，DF⊥AB，EF⊥AC，

又∵∠BAC=90°，

∴∠AMF=∠MAN=∠ANF=90°，

∴四邊形AMFN是矩形；

（3）BD′的平方為16+8或16﹣8．

分兩種情況：

①以點A為旋轉中心將正方形ABCD逆時針旋轉60°，

如圖所示：過D'作D'E⊥AB，交BA的延長線于E，

由旋轉可得，∠DAD'=60°，

∴∠EAD'=30°，

∵AB=2=AD'，

∴D'E=AD'=，AE=，

∴BE=2+，

∴Rt△BD'E中，BD'2=D'E2+BE2=（）2+（2+）2=16+8

②以點A為旋轉中心將正方形ABCD順時針旋轉60°，

如圖所示：過B作BF⊥AD'于F，

旋轉可得，∠DAD'=60°，

∴∠BAD'=30°，

∵AB=2=AD'，

∴BF=AB=，AF=，

∴D'F=2﹣，

∴Rt△BD'F中，BD'2=BF2+D'F2=（）2+（2-）2=16﹣8

綜上所述，BD′平方的長度為16+8或16﹣8．