Question

【題目】在△AOB中，OA=OB=8，∠AOB=90°，矩形CDEF的頂點C、D、F分別在邊AO、OB、AB上。

（1）如圖1，若C、D恰好是邊AO、OB的中點，則此時矩形CDEF的面積為_________；

（2）如圖2，若=，求矩形CDEF面積的最大值。

Answer 1

【答案】（1）S矩形CDEF=16；

（2）矩形CDEF面積的最大值為。

【解析】試題分析：（1）因為當C、D是邊AO，OB的中點時，點E、F都在邊AB上，且CF⊥AB，所以可求出CD的值，進而求出CF的值，矩形CDEF的面積可求出；

（2）設CD=x，CF=y．過F作FH⊥AO于H．在 Rt△COD中，用含x和y的代數式分別表示出CO、AH的長，進而表示出矩形CDEF的面積，再配方可求出面積的最大值．

試題解析：

（1）如圖，當C、D是邊AO，OB的中點時，

點E、F都在邊AB上，且CF⊥AB。

∵OA=OB=8，

∴OC=AC=OD=4。

∵∠AOB=90°，

∴CD=4。

在Rt△ACF中，

∵∠A=45°，

∴CF=2，

∴S矩形CDEF=4×2=16。

（2）設CD=x，CF=y。過F作FH⊥AO于H。在Rt△COD中，

∵tan∠CDO=，

∴sin∠CDO=，cos∠CDO=，

∴CO=x

∵∠FCH+∠OCD=90°，

∴∠FCH+∠CDO，

∴HC=y·cos∠FCH=y，

∴FH=y。

∵△AHF是等腰直角三角形，

∴AH=FH=y，

∴AO=AH+HC+CO。

∴，

∴y=（40-4x）

易知S矩形CDEF=xy=（40x-4x2）=- [（x-5）2-25]，

∴當x=5時，矩形CDEF面積的最大值為.