Question

【題目】四邊形ABCD是正方形，對角線AC，BD相交于點O．
（1）如圖1，點P是正方形ABCD外一點，連接OP，以OP為一邊，作正方形OPMN，且邊ON與邊BC相交，連接AP，BN．
①依題意補全圖1；
②判斷AP與BN的數量關系及位置關系，寫出結論并加以證明；

（2）點P在AB延長線上，且∠APO=30°，連接OP，以OP為一邊，作正方形OPMN，且邊ON與BC的延長線恰交于點N，連接CM，若AB=2，求CM的長（不必寫出計算結果，簡述求CM長的過程）

Answer 1

【答案】
（1）

解：①補全圖形如圖1所示，

②結論：AP=BN，AP⊥BN．

理由：延長NB交AP于H，交OP于K．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴OA=OB，AO⊥BO，

∴∠1+∠2=90°，

∵四邊形OPMN是正方形，

∴OP=ON，∠PON=90°，

∴∠2+∠3=90°，

∴∠1=∠3，

在△APO和△BNO中，

，

∴△APO≌△BNO，

∴AP=BN，∴∠4=∠5，

在△OKN中，∠5+∠6=90°，

∵∠7=∠6，

∴∠4+∠7=90°，

∴∠PHK=90°，

∴AP⊥BN．

（2）

解：解題思路如下：

a．首先證明△APO≌△BNO，AP=BN，∠OPA=ONB．

b．作OT⊥AB于T，MS⊥BC于S，由題意可知AT=TB=1，

c．由∠APO=30°，可得PT= ，BN=AP= +1，可得∠POT=∠MNS=60°．

d．由∠POT=∠MNS=60°，OP=MN，

可證，△OTP≌△NSM，

∴PT=MS= ，

∴CN=BN﹣BC= ﹣1，

∴SC=SN﹣CN=2﹣ ，

在RT△MSC中，CM2=MS2+SC2，

∴MC的長可求．

【解析】（1）①根據題意作出圖形即可．②結論：AP=BN，AP⊥BN，只要證明△APO≌△BNO即可．（2）在RT△CMS中，求出SM，SC即可解決問題．
【考點精析】認真審題，首先需要了解正方形的性質(正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形)．