Question

無論k取任何實數，對于直線都會經過一個固定的點，我們就稱直線恒過定點.

（1）無論取任何實數，拋物線恒過定點，直接寫出定點A的坐標；

（2）已知△ABC的一個頂點是（1）中的定點，且∠B，∠C的角平分線分別是y軸和直線，求邊BC所在直線的表達式；

（3）求△ABC內切圓的半徑.

 

 

Answer 1

（1）（0,2）或（3，）；（2）；（3）.

【解析】

試題分析：（1）將變形為，只要的系數為0，即有無論取任何實數，拋物線恒過定點.

（2）根據角平分線的軸對稱性質，求出點A關于y軸的對稱點和關于直線的對稱點的坐標，由該兩點在直線BC上，應用待定系數法求解即可.

（3）根據角平分線的性質，y軸和直線的交點O即為△ABC內切圓的圓心，從而應用面積公式即可求解.

試題解析：（1）∵可變形為，

∴當，即或時，無論取任何實數，拋物線恒過定點.

當時，；當時，；

∴A（0,2）或（3，）.

（2）∵△ABC的一個頂點是（1）中的定點，

∴A（3，）.

∵∠B，∠C的角平分線分別是y軸和直線，

∴點B、點C在點A關于y軸、直線的對稱點所確定的直線上.

如圖，作點A關于y軸的對稱點，作點A關于直線的對稱點.

直線DE與y軸的交點即為點B，與直線的交點即為點C. 連接AB，AC.

設直線BC的表達式為.

則有，解之，得.

所以，.

（3） ∵∠B，∠C的角平分線分別是y軸和直線，

∴y軸和直線的交點O即為△ABC內切圓的圓心.

過點O作OF于F，則OF即為△ABC內切圓的半徑.

設BC與x軸交點為點G，易知 , .

∴.

∵,

∴，即△ABC內切圓的半徑為.

考點：1.函數和平面幾何綜合題；2. 角平分線的性質；3.待定系數法的應用；4.曲線上點的坐標與方程的關系；5.三角形的內切圓；6.勾股定理；7.三角形面積公式.