Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx（a≠0）過A（4，0），B（1，3）兩點，點C、B關于拋物線的對稱軸對稱，過點B作直線BH⊥x軸，交x軸于點H．

（1）求拋物線的表達式；

（2）求點C的坐標，并求出△ABC的面積；

（3）點P是拋物線上一動點，且位于第四象限，是否存在這樣的點P，使得△ABP的面積為△ABC面積的2倍？若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+4x；（2）3（3）P點坐標為（5，﹣5）

【解析】

（1）把A點和B點坐標分別代入y=ax2+bx中得到關于a、b的方程組，然后解方程組即可得到拋物線解析式；

（2）計算函數值為3所對應的自變量的值即可得到C點橫坐標，然后根據三角形面積公式計算△ABC的面積；

（3）作PQ⊥BH于Q，如圖，設P（m，-m2+4m），則利用S△ABH+S梯形APQH=S△PBQ+S△ABP可得到關于m的方程，然后解方程求出m即可得到P點坐標．

（1）把A（4，0），B（1，3）代入y=ax2+bx得

，解得，

所以拋物線解析式為y=﹣x2+4x；

（2）當y=3時，﹣x2+4x=3，解得x1=1，x2=3，

則C點坐標為（3，3），

所以△ABC的面積=×2×3=3；

（3）作PQ⊥BH于Q，如圖，設P（m，﹣m2+4m）．

∵S△ABH+S梯形APQH=S△PBQ+S△ABP，

∴×3×3+（3+m﹣1）×（m2﹣4m）=×（m﹣1）×（3+m2﹣4m）+2×3，

整理得m2﹣5m=0，解得m1=0（舍去），m2=5，

∴P點坐標為（5，﹣5）．